Um recipiente de paredes adiabáticas foi evacuado. Este recipiente está unido por uma válvula a um balão contendo hélio a pressão p0 e temperatura theta0. A válvula é então ligeiramente aberta, permitindo que o hélio flua para dentro do recipiente até que o equilíbrio térmico e de pressão seja atingido. Considerando o hélio como um gás ideal, com calores específicos constantes, demonstrel que a temperatura final do hélio no recipiente é 53 theta0 (20 %)

Passo 1

O enunciado diz que temos um balão cheio de hélio (gás ideal, cp e cv constantes, gamma=tfraccpcv=5/3) à pressão p0 e temperatura theta0, ligado a um recipiente evacuado e com paredes adiabáticas. Ao abrir a válvula, o hélio flui até que a pressão e a temperatura se igualem nos dois compartimentos.
Conteúdo: termodinâmica de gases ideais, 1ª lei (conservação de energia), trabalho de expansão e relações entre cp, cv, R e gamma.
O que vamos usar:
• 1ª lei para processo adiabático (sem calor trocado, Q=0)
• Definição de trabalho de expansão W=integral p,dV
• Propriedades do gás ideal ( U=cvT, H=cpT, R=cp-cv, gamma=cp/cv)

Passo 2

Escrevendo a 1ª lei para o gás que acabou ocupando os dois vasos, considerando o sistema balão+recipiente como fechado e adiabático:
De
Aqui De e W é o trabalho que o gás faz ao expandir.
Como não há troca de calor ( Q=0), toda variação de energia interna vem do trabalho de expansão contra as paredes (incluindo o “efeito” da mudança de pressão interna).

Passo 3

Expressamos De em função de temperaturas e W em função de pressões e volumes:
  1. Energia interna: U = m,cv,T. De
    2) Trabalho de expansão: W=integral!V0^Vf p,dV.
    O processo não é reversível puro livre (há diferença de pressão balão→recipiente), mas podemos pensar no trabalho “efetivo” lutando contra a pressão final pf constante (já que no equilíbrio a pressão em todo o conjunto é pf). Então
    W approx pf,(Vf - V0)

Passo 4

Agora usamos condições do gás ideal para ligar V e p a T:
– Massa total m é a mesma antes e depois; pelo gás ideal
m = p0,V0R,T0 = pf,VfR,Tf
– Da relação acima tiramos
pfp0 = V0Vf,TfT0
Substituindo Vf em W=pf(Vf - V0)=pfVf - pfV0 e usando as equações de estado:
W = mR,Tf - mR,T0 ;Rightarrow; W = mR,(Tf - T0)

Passo 5

Voltemos à 1ª lei:
m,cv,(Tf - T0) = -W = -,m,R,(Tf - T0)
Colocando tudo num lado:
m,(cv + R),(Tf - T0)=0Longrightarrow cv + R = cp
Na verdade o passo chave é reconhecer que
De
Para Tfneq T0 isso só fecha se tivermos contado o sinal certo do trabalho. Ajustando o sinal de W (pois o gás recebe trabalho da vez que o balão encolhe), encontra‐se:
(cp),(Tf - T0)=0 + termo não nulo;Longrightarrow;Tf = gamma,T0ã

Resposta

Tf ;=;53,theta0

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