SAO DADAS AS MEDIDAS:
\begin{aligned} & A=3,43 \pm 0,05 ; \\\ & B=0,046 \pm 0,002 ; \\\ & C=66,23 \pm 0,03 ; \\\ & D=2,0045 \pm 0,0005 . \end{aligned}
EFETUE:
\frac{A^{2} B^{3}}{3 C \sqrt{D}}

Passo 1

O enunciado fornece as medições (peguei os valores diretamente do enunciado):
\begin{aligned} & A=3,43 \pm 0,05 ;\\\ & B=0,046 \pm 0,002 ;\\\ & C=66,23 \pm 0,03 ;\\\ & D=2,0045 \pm 0,0005 . \end{aligned}
O que se pede é calcular o valor da expressão
\frac{A^{2}B^{3}}{3C\sqrt{D}}
e também estimar a incerteza associada a esse resultado, usando as incertezas fornecidas para A,B,C,D.

Passo 2

Vamos fazer duas coisas: (i) calcular o valor numérico central (usando os valores nominais) e (ii) estimar a incerteza do resultado por propagação de erros. Para facilitar a propagação, reescrevemos a expressão em forma de potências:
F=\frac{A^{2}B^{3}}{3C\sqrt{D}}=\frac{1}{3}\,A^{2}B^{3}C^{-1}D^{-1/2}.
Aqui F é a quantidade que queremos. Note que os expoentes nas variáveis são:
k_A=2,\quad k_B=3,\quad k_C=-1,\quad k_D=-\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Cálculo do valor nominal passo a passo (usar os valores nominais fornecidos).
Primeiro compute A^{2}:
A^{2}=3,43^{2}=11,7649.
Depois compute B^{3}:
B^{3}=0,046^{3}=0,000097336.
Produto A^{2}B^{3}:
A^{2}B^{3}=11,7649\times0,000097336\approx0,0011451513.
Calcule \sqrt{D}:
\sqrt{D}=\sqrt{2,0045}\approx1,4158046.
Denominador 3C\sqrt{D}:
3C\sqrt{D}=3\times66,23\times1,4158046\approx281,306353.
Finalmente o valor nominal:
F=\frac{0,0011451513}{281,306353}\approx4,07204\times10^{-6}.

Passo 4

Explicação didática da propagação de incerteza usada:
Para uma função do tipo
F=\text{const}\times\prod_i x_i^{k_i},
a incerteza relativa aproximada (usando a aproximação linear, válida quando as incertezas são pequenas e as variáveis são independentes) é
\frac{\sigma_F}{F}\approx\sqrt{\sum_i \left(k_i\frac{\sigma_{x_i}}{x_i}\right)^2 }.
Aqui \sigma_{x_i} é a incerteza em x_i e k_i é o expoente dessa variável na expressão. Esta fórmula vem da expansão em série de Taylor (ou da regra geral com derivadas parciais) e é muito prática para produtos e potências, porque transforma tudo em somas de termos quadráticos. Vamos aplicá-la com os expoentes que identifiquei no Passo 2.

Passo 5

Calcule as incertezas relativas de cada variável (peguei os desvios do enunciado):
\begin{aligned} &\frac{\sigma_A}{A}=\frac{0,05}{3,43}\approx0,0145773,\\[4pt] &\frac{\sigma_B}{B}=\frac{0,002}{0,046}\approx0,0434783,\\[4pt] &\frac{\sigma_C}{C}=\frac{0,03}{66,23}\approx0,0004528,\\[4pt] &\frac{\sigma_D}{D}=\frac{0,0005}{2,0045}\approx0,00024994. \end{aligned}]

Passo 6

Agora aplique a fórmula das potências com os k_i (os sinais não importam porque vamos quadrar):
\frac{\sigma_F}{F}\approx\sqrt{(2\cdot\tfrac{\sigma_A}{A})^2+(3\cdot\tfrac{\sigma_B}{B})^2+(-1\cdot\tfrac{\sigma_C}{C})^2+\big(-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sigma_D}{D}\big)^2 }.
Substituindo os números:
\begin{aligned} 2\cdot\frac{\sigma_A}{A}&\approx 2\times0,0145773=0,0291546,\\[4pt] 3\cdot\frac{\sigma_B}{B}&\approx 3\times0,0434783=0,1304348,\\[4pt] 1\cdot\frac{\sigma_C}{C}&\approx 0,0004528,\\[4pt] \tfrac{1}{2}\cdot\frac{\sigma_D}{D}&\approx 0,00012497. \end{aligned}
Quadrados e soma:
(0,0291546)^2\approx0,00084994,\quad (0,1304348)^2\approx0,017012,\quad (0,0004528)^2\approx2{,}05\times10^{-7},\quad (0,00012497)^2\approx1{,}56\times10^{-8}.
Soma:
\sum\approx0,00084994+0,017012+2{,}05\times10^{-7}+1{,}56\times10^{-8}\approx0,01786216.
Raiz:
\frac{\sigma_F}{F}\approx\sqrt{0,01786216}\approx0,133603.
Ou seja, a incerteza relativa é aproximadamente 13{,}36\%.]

Passo 7

Calcule a incerteza absoluta \sigma_F e apresente o resultado antes do arredondamento final:
\sigma_F=F\cdot\frac{\sigma_F}{F}\approx4,07204\times10^{-6}\times0,133603\approx5,4377\times10^{-7}.
Portanto, o resultado com incerteza (não arredondado) é
F=(4,07204\pm0,54377)\times10^{-6}.

Passo 8

Regra prática de arredondamento para resultados com incerteza: costuma-se apresentar a incerteza com uma ou (no máximo) duas casas significativas e ajustar o valor central para ter a mesma casa decimal. Vou manter duas algarismos significativos na incerteza (porque a incerteza relativa não é enorme) e arredondar:
\sigma_F\approx0,54\times10^{-6},\qquad F\approx4,07\times10^{-6}.
Assim a apresentação final fica
F=(4,07\pm0,54)\times10^{-6}.

Resposta

(4,07\pm0,54)\times10^{-6}

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