- Schaum: Supor, para uma dada condição de T e P, que a dependência da composição, do volume molar líquido (em
), para um determinado sistema binário, é dada por:
- Determine as expressões correspondentes para
Passo 1
O enunciado dá a dependência do volume molar (em
) do sistema binário, para determinada
e
:
As incógnitas pedidas são as expressões das parcelas molares parciais (volumes molares parciais)
e
.\n
Informações relevantes que temos: e
são as frações molares das componentes 1 e 2, com
. Não há outras informações externas; temos de obter
e
a partir da expressão acima.
Informações relevantes que temos:
Passo 2
O que é e como se calcula o volume molar parcial:\n
- Definição (intuitiva):
é o aumento do volume total da mistura quando se adiciona uma pequena quantidade da substância , mantendo e as quantidades das outras substâncias constantes. Em termos matemáticos:
- Relação prática para o volume molar (por mol da mistura)
: para um sistema binário vale
- Uma identidade muito útil (que surge diferenciando a expressão acima em relação a
, usando e a condição de Gibbs–Duhem) é:
A partir dessas duas relações podemos resolver
e
em função de
e de
. Isolando
e
obtemos (fórmulas que usaremos depois):
Explico brevemente a origem: somando
com a identidade
e eliminando
obtém-se as fórmulas acima.
Passo 3
Reduzir
a função de uma única variável (
), usando
. Substituo na expressão dada:
Agora simplifico termo a termo:
Agrupando termos:
Passo 4
Calcular a derivada
da expressão obtida no passo anterior:
Passo 5
Aplicar as fórmulas gerais (do Passo 2):
Vou substituir
(em função de
) e
nas duas expressões e simplificar.
Passo 6
Cálculo de
:\n
Substituo ,
e
:
Substituo
Faço a multiplicação do segundo termo:
Agora somo com o primeiro parêntese:
Agrupando termos:
constante: ,
termo em :
então
,
termo em :
então
.
Logo
constante:
termo em
termo em
Logo
Podemos reescrever
em função de
substituindo
; ao simplificar obtém-se a forma mais compacta:
(Verificação rápida: para
(pureza 1) dá
, consistente.)
Passo 7
Cálculo de
:\n
Substituo e
na fórmula:
Substituo
Multiplico o segundo termo:
Então
Também podemos deixar
em termos de
(já está) ou, substituindo
, obter outra forma equivalente:
mas a forma simples e simétrica que mantemos é
(Verificação: para
(pureza 2) dá
, coerente.)