Um sistema de aquecimento deve manter o interior de um edifício a
durante o período em que a temperatura do ar exterior está a
, sendo a transferência de calor do edifício pelas suas\nparedes e teto de
. Para esta tarefa, bombas de calor são consideradas para operar entre a edificação e:
b) uma lagoa, a
. Para cada caso, avalie o trabalho líquido mínimo necessário para operar qualquer bomba de calor, em kJ.
b) uma lagoa, a
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Dado: a transferência de calor que o sistema de aquecimento deve fornecer ao interior do edifício é
- Dado: temperatura interna desejada
- Caso (b): o reservatório frio é uma lagoa a
- Pedido: avaliar o trabalho líquido mínimo necessário (em
) para operar qualquer bomba de calor que leve calor da lagoa para aquecer o edifício.
Estas são todas as informações relevantes; a resolução começa a seguir.
Passo 2
Conceito físico que vamos usar (explicado devagar, como numa aulinha): a bomba de calor é um dispositivo que “puxa” calor de uma fonte fria e o entrega a uma fonte quente, usando trabalho
. Para a situação ideal — isto é, o menor trabalho possível — consideramos uma bomba de calor reversível (máquina de Carnot). Nessa situação a entropia total trocada é zero e as quantidades de calor
(entregue ao interior quente) e
(retirada da lagoa) satisfazem a relação de equilíbrio de entropia:
Aqui eu explico cada símbolo com calma:
-
é o calor fornecido ao edifício (aqui ). -
é o calor extraído da lagoa. -
é a temperatura absoluta (Kelvin) do interior do edifício. -
é a temperatura absoluta (Kelvin) da lagoa. - Observação importante: temperaturas devem ser usadas em Kelvin; a conversão é
A razão para usar Kelvin é que as leis da termodinâmica (saldo de entropia, eficiências de Carnot, etc.) requerem temperaturas absolutas.
Passo 3
Deduzimos agora a fórmula do trabalho mínimo passo a passo.
- Pela conservação de energia para a bomba de calor (primeira lei), o trabalho líquido
fornecido satisfaz
- Do balanço de entropia reversível (passo anterior) obtemos
- Substituindo
em ,
Explicação adicional: essa expressão dá o trabalho mínimo porque só é válida se o processo for reversível (Carnot). Qualquer bomba de calor real terá perdas e exigirá mais trabalho. Outra forma de ver isso é usar o coeficiente de desempenho de aquecimento (COP), mas a fórmula acima já é direta para o trabalho mínimo.
Passo 4
Agora aplicamos os números do enunciado. Primeiro convertemos as temperaturas para Kelvin:
Note um truque útil:
. Aqui
. Então a fração fica simples:
Passo 5
Calculemos o trabalho mínimo usando a fórmula do Passo 3 e os valores do Passo 4:
Agora executamos as contas (faço devagar para você poder reproduzir sem calculadora: multiplicamos primeiro, ou dividimos; aqui é mais direto dividir):
Fazendo a divisão obtemos (arredondando de forma razoável)
Interpretação final: aproximadamente
de trabalho é o mínimo teórico necessário quando a fonte fria está à temperatura de
. Lembre-se: este é o mínimo ideal (Carnot); bombas de calor reais vão exigir mais trabalho. Força aí — você já tem o procedimento pronto para outros casos parecidos!