Um sistema de aquecimento deve manter o interior de um edifício a 20^{\circ} \mathrm{C} durante o período em que a temperatura do ar exterior está a 5^{\circ} \mathrm{C}, sendo a transferência de calor do edifício pelas suas\nparedes e teto de 3 \times 10^{6} \mathrm{~kJ}. Para esta tarefa, bombas de calor são consideradas para operar entre a edificação e:
b) uma lagoa, a 10^{\circ} \mathrm{C}. Para cada caso, avalie o trabalho líquido mínimo necessário para operar qualquer bomba de calor, em kJ.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dado: a transferência de calor que o sistema de aquecimento deve fornecer ao interior do edifício é \;Q_{H}=3\times10^{6}\\ \mathrm{kJ}.
  • Dado: temperatura interna desejada \;20^\circ\mathrm{C}.
  • Caso (b): o reservatório frio é uma lagoa a \;10^\circ\mathrm{C}.
  • Pedido: avaliar o trabalho líquido mínimo necessário (em \mathrm{kJ}) para operar qualquer bomba de calor que leve calor da lagoa para aquecer o edifício.
Estas são todas as informações relevantes; a resolução começa a seguir.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicado devagar, como numa aulinha): a bomba de calor é um dispositivo que “puxa” calor de uma fonte fria e o entrega a uma fonte quente, usando trabalho W. Para a situação ideal — isto é, o menor trabalho possível — consideramos uma bomba de calor reversível (máquina de Carnot). Nessa situação a entropia total trocada é zero e as quantidades de calor Q_{H} (entregue ao interior quente) e Q_{C} (retirada da lagoa) satisfazem a relação de equilíbrio de entropia:
\frac{Q_{H}}{T_{H}}-\frac{Q_{C}}{T_{C}}=0.
Aqui eu explico cada símbolo com calma:
  • \;Q_{H} é o calor fornecido ao edifício (aqui \;3\times10^{6}\\ \mathrm{kJ}).
  • \;Q_{C} é o calor extraído da lagoa.
  • \;T_{H} é a temperatura absoluta (Kelvin) do interior do edifício.
  • \;T_{C} é a temperatura absoluta (Kelvin) da lagoa.
  • Observação importante: temperaturas devem ser usadas em Kelvin; a conversão é \;T(\mathrm{K})=t(^{\circ}\mathrm{C})+273{,}15.
A razão para usar Kelvin é que as leis da termodinâmica (saldo de entropia, eficiências de Carnot, etc.) requerem temperaturas absolutas.

Passo 3

Deduzimos agora a fórmula do trabalho mínimo passo a passo.
  1. Pela conservação de energia para a bomba de calor (primeira lei), o trabalho líquido W fornecido satisfaz
W = Q_{H}-Q_{C}.
  1. Do balanço de entropia reversível (passo anterior) obtemos
\frac{Q_{H}}{T_{H}}=\frac{Q_{C}}{T_{C}} \quad\Rightarrow\quad Q_{C}=Q_{H}\frac{T_{C}}{T_{H}}.
  1. Substituindo Q_{C} em W,
W_{\min}=Q_{H}-Q_{H}\frac{T_{C}}{T_{H}} =Q_{H}\left(1-\frac{T_{C}}{T_{H}}\right).
Explicação adicional: essa expressão dá o trabalho mínimo porque só é válida se o processo for reversível (Carnot). Qualquer bomba de calor real terá perdas e exigirá mais trabalho. Outra forma de ver isso é usar o coeficiente de desempenho de aquecimento (COP), mas a fórmula acima já é direta para o trabalho mínimo.

Passo 4

Agora aplicamos os números do enunciado. Primeiro convertemos as temperaturas para Kelvin:
T_{H}=20^\circ\mathrm{C}+273{,}15=293{,}15\\ \mathrm{K},
T_{C}=10^\circ\mathrm{C}+273{,}15=283{,}15\\ \mathrm{K}.
Note um truque útil: 1-\dfrac{T_{C}}{T_{H}}=\dfrac{T_{H}-T_{C}}{T_{H}}. Aqui T_{H}-T_{C}=293{,}15-283{,}15=10\\ \mathrm{K}. Então a fração fica simples:
1-\frac{T_{C}}{T_{H}}=\frac{10}{293{,}15}.

Passo 5

Calculemos o trabalho mínimo usando a fórmula do Passo 3 e os valores do Passo 4:
W_{\min}=Q_{H}\left(1-\frac{T_{C}}{T_{H}}\right) =3\times10^{6}\\ \mathrm{kJ}\times\frac{10}{293{,}15}.
Agora executamos as contas (faço devagar para você poder reproduzir sem calculadora: multiplicamos primeiro, ou dividimos; aqui é mais direto dividir):
W_{\min}=\frac{30{,}000{,}000}{293{,}15}\\ \mathrm{kJ}.
Fazendo a divisão obtemos (arredondando de forma razoável)
W_{\min}\approx102\,336{,}7\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação final: aproximadamente 1,02\times10^{5}\\ \mathrm{kJ} de trabalho é o mínimo teórico necessário quando a fonte fria está à temperatura de \;10^\circ\mathrm{C}. Lembre-se: este é o mínimo ideal (Carnot); bombas de calor reais vão exigir mais trabalho. Força aí — você já tem o procedimento pronto para outros casos parecidos!

Resposta

1,02\times10^{5}\\ \mathrm{kJ}

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