Em regime permanente, um ciclo desenvolve uma potência de saída de 10 kW enquanto recebe energia pela transferência de calor a uma taxa de 10 kJ por ciclo de operação, proveniente de uma fonte na temperatura de 1500 K . Energia é rejeitada por transferência de calor para água fria a 300 K . Determine o número mínimo teórico de ciclos requeridos, por minuto.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Informação: potência de saída (potência útil) é
. - Informação: energia recebida por transferência de calor por ciclo é
por ciclo. - Informação: temperatura da fonte quente é
. - Informação: temperatura da fonte fria (á água) é
. - Pergunta: determinar o número mínimo teórico de ciclos requeridos por minuto.
Passo 2
Entendendo o que “mínimo teórico” significa: o maior rendimento possível de um ciclo térmico reversível operando entre duas fontes térmicas é o rendimento de Carnot. Esse rendimento é o limite superior que nenhum motor térmico real pode ultrapassar. Vamos usar esse rendimento máximo para obter o menor número de ciclos (se cada ciclo produz o máximo de trabalho possível, precisamos de menos ciclos para entregar a potência requerida).
A fórmula do rendimento de Carnot é
onde:
-
é o rendimento máximo (adimensional, entre e ), -
é a temperatura absoluta da fonte quente (em kelvin), -
é a temperatura absoluta da fonte fria (em kelvin).
Passo 3
Calculemos o rendimento de Carnot com os números dados:
Agora avaliaremos a fração:
Portanto
Isto é, o rendimento máximo é
que corresponde a
.
Passo 4
Relacionando trabalho por ciclo com o calor fornecido por ciclo: se um ciclo recebe
de calor e tem rendimento
, o trabalho realizado por ciclo é
Aqui vamos usar
porque queremos o caso ideal (mínimo de ciclos).
Passo 5
Calculando o trabalho máximo por ciclo com os valores dados:
Então cada ciclo, no melhor caso teórico, produz
de trabalho.
Passo 6
Converter a potência de saída para unidades compatíveis:
significa
(pois
). Para manter o balanço, a taxa de trabalho entregue por segundo deve ser igual ao número de ciclos por segundo multiplicado pelo trabalho por ciclo:
onde
é o número de ciclos por segundo (Hz). Assim
Passo 7
Substituindo os valores:
Agora converter para ciclos por minuto multiplicando por
:
Passo 8
Interpretação final e observação prática: o valor calculado é o mínimo teórico porque assumimos um motor reversível ideal com rendimento de Carnot. Motores reais terão rendimento menor que
e, consequentemente, exigirão mais ciclos por minuto para fornecer a mesma potência. Mas, teoricamente,
ciclos por minuto é suficiente no cenário ideal.