Em regime permanente, um ciclo desenvolve uma potência de saída de 10 kW enquanto recebe energia pela transferência de calor a uma taxa de 10 kJ por ciclo de operação, proveniente de uma fonte na temperatura de 1500 K . Energia é rejeitada por transferência de calor para água fria a 300 K . Determine o número mínimo teórico de ciclos requeridos, por minuto.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Informação: potência de saída (potência útil) é \dot{W}=10\\ \text{kW}.
  • Informação: energia recebida por transferência de calor por ciclo é Q_H=10\\ \text{kJ} por ciclo.
  • Informação: temperatura da fonte quente é T_H=1500\\ \text{K}.
  • Informação: temperatura da fonte fria (á água) é T_C=300\\ \text{K}.
  • Pergunta: determinar o número mínimo teórico de ciclos requeridos por minuto.

Passo 2

Entendendo o que “mínimo teórico” significa: o maior rendimento possível de um ciclo térmico reversível operando entre duas fontes térmicas é o rendimento de Carnot. Esse rendimento é o limite superior que nenhum motor térmico real pode ultrapassar. Vamos usar esse rendimento máximo para obter o menor número de ciclos (se cada ciclo produz o máximo de trabalho possível, precisamos de menos ciclos para entregar a potência requerida).
A fórmula do rendimento de Carnot é
\eta_C = 1 - \frac{T_C}{T_H},
onde:
  • \eta_C é o rendimento máximo (adimensional, entre 0 e 1),
  • T_H é a temperatura absoluta da fonte quente (em kelvin),
  • T_C é a temperatura absoluta da fonte fria (em kelvin).

Passo 3

Calculemos o rendimento de Carnot com os números dados:
\eta_C = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{300}{1500}.
Agora avaliaremos a fração:
\frac{300}{1500} = 0,2.
Portanto
\eta_C = 1 - 0,2 = 0,8.
Isto é, o rendimento máximo é \eta_C=0,8 que corresponde a 80\%.

Passo 4

Relacionando trabalho por ciclo com o calor fornecido por ciclo: se um ciclo recebe Q_H de calor e tem rendimento \eta, o trabalho realizado por ciclo é
W_{\text{por ciclo}} = \eta \, Q_H.
Aqui vamos usar \eta=\eta_C porque queremos o caso ideal (mínimo de ciclos).

Passo 5

Calculando o trabalho máximo por ciclo com os valores dados:
W_{\text{por ciclo}} = \eta_C \, Q_H = 0,8 \times 10\\ \text{kJ} = 8\\ \text{kJ}.
Então cada ciclo, no melhor caso teórico, produz 8\\ \text{kJ} de trabalho.

Passo 6

Converter a potência de saída para unidades compatíveis: \dot{W}=10\\ \text{kW} significa 10\\ \text{kJ/s} (pois 1\\ \text{kW}=1\\ \text{kJ/s}). Para manter o balanço, a taxa de trabalho entregue por segundo deve ser igual ao número de ciclos por segundo multiplicado pelo trabalho por ciclo:
\dot{W} = \dot{N}\, W_{\text{por ciclo}},
onde \dot{N} é o número de ciclos por segundo (Hz). Assim
\dot{N} = \frac{\dot{W}}{W_{\text{por ciclo}}}.

Passo 7

Substituindo os valores:
\dot{N} = \frac{10\\ \text{kJ/s}}{8\\ \text{kJ/ciclo}} = \frac{10}{8}\\ \text{ciclo/s} = 1{,}25\\ \text{ciclo/s}.
Agora converter para ciclos por minuto multiplicando por 60:
N_{\text{por minuto}} = 1{,}25\\ \text{ciclo/s} \times 60\\ \text{s/min} = 75\\ \text{ciclos/min}.

Passo 8

Interpretação final e observação prática: o valor calculado é o mínimo teórico porque assumimos um motor reversível ideal com rendimento de Carnot. Motores reais terão rendimento menor que \eta_C e, consequentemente, exigirão mais ciclos por minuto para fornecer a mesma potência. Mas, teoricamente, 75 ciclos por minuto é suficiente no cenário ideal.

Resposta

75 ciclos por minuto

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