(Smith, p. 273, q. 10.4) A entalpia de um sistema líquido binário formado pelas espécies 1 e 2 , a T e P fixas, é representada pela equação:
H=400 x1+600 x2+x1 x2(40 x1+20 x2)
Em que H está em J/mol.
Determine as expressões para barH1 e barH2 como funções de x1.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a entalpia molar de uma mistura líquida binária (componentes 1 e 2) a T e P fixas é
H ;=; 400,x1;+;600,x2;+;x1x2l(40,x1+20,x2r),
onde x1 e x2 são as frações molares ( x2=1-x1) e H está em J/mol.
O que precisamos fazer: achar as entalpias molares parciais
bar H1ebar H2
como funções de x1.
Para isso vamos usar:
1) converter tudo em função de x1 só (já que x2=1-x1),
2) entender como derivar uma propriedade molar para achar propriedades parciais,
3) aplicar as fórmulas-padrão de entalpia parcial em sistema binário.

Passo 2

Primeiro, escrevemos H só em x1. Como x2=1-x1, substituímos:
H(x1) =400,x1+600,(1-x1) +x1(1-x1)l[40,x1+20,(1-x1)r]
Agora simplificamos passo a passo:
  1. 400x1+600(1-x1)=600-200x1.
  2. Dentro do colchete: 40x1+20(1-x1)=20+20x1.
  3. Então o termo extra vira
x1(1-x1)(20+20x1) =20,x1(1-x1)(1+x1) =20,x1l(1-x1^2r) =20,x1-20,x1^3
Somando tudo:
H(x1) =600-200x1 ;+;(20x1-20x1^3) =600 -180x1-20x1^3

Passo 3

Agora vamos à parte “teoria”. A definição de entalpia molar parcial em mistura binária é
bar H1 =H + x2dHdx1, bar H2 =H - x1dHdx1
Essas fórmulas vêm da relação geral H = x1bar H1+x2bar H2 e do diferencial dH = (bar H1-bar H2)dx1.
Então primeiro calculamos a derivada de H(x1):
dHdx1 =ddx1l(600 -180x1-20x1^3r) =-180 -60x1^2

Passo 4

Basta agora usar as fórmulas:
  1. Para bar H1:
bar H1 =H + (1-x1)l(-180 -60x1^2r)
Substituindo H=600-180x1-20x1^3:
bar H1 &=600-180x1-20x1^3 -(1-x1)(180+60x1^2) &=600-180x1-20x1^3 -l(180+60x1^2-180x1-60x1^3r) &=420 -60x1^2+40x1^3
  1. Para bar H2:
bar H2 =H - x1l(-180 -60x1^2r) =H + x1(180+60x1^2),
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bar H2 &=600-180x1-20x1^3 +180x1+60x1^3 &=600 +40x1^3

Resposta

As entalpias molares parciais em função de x1 são:
boxed bar H1(x1) = 420 ;-;60,x1^2;+;40,x1^3 e bar H2(x1) = 600 ;+;40,x1^3

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