Suponha que um bloco de ferro com 10,0 \mathrm{Kg} de massa a 20^{\circ} \mathrm{C} caia de uma altura de 100 metros. Qual é a energia cinética do bloco um instante antes de colidir com o solo? Qual seria sua velocidade? Qual seria a temperatura final do bloco se toda a energia do impacto for transformada em energia interna? (Considere \overline{C_{P}}=25,1 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{e} \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} ).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações fornecidas:
m = 10,0\\ \mathrm{kg}
T_{\text{inicial}} = 20^\circ\mathrm{C}
h = 100\\ \mathrm{m}
\overline{C_P} = 25,1\\ \mathrm{J\;K^{-1}\;mol^{-1}}
g = 9,8\\ \mathrm{m\;s^{-2}}
Perguntas pedidas:
  1. Qual é a energia cinética do bloco um instante antes de colidir com o solo?
  2. Qual seria sua velocidade nesse instante?
  3. Se toda a energia do impacto virar energia interna do bloco, qual será sua temperatura final?
Observação: o enunciado não fornece a massa molar do ferro; usarei o valor padrão para o ferro, que é
M_{\mathrm{Fe}} = 55,85\\ \mathrm{g\;mol^{-1}} = 0,05585\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}}.

Passo 2

Princípio físico usado para a energia cinética: ao cair sem resistência do ar, a perda de energia potencial gravitacional transforma-se em energia cinética no instante antes do impacto. A energia potencial inicial é
E_{\text{pot}} = m g h.
Como não há perdas (hipótese do enunciado), a energia cinética no instante antes do choque é igual a essa energia potencial:
E_{\text{cin}} = m g h.
Explico cada símbolo:
  • m é a massa do bloco (em \mathrm{kg}),
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m\;s^{-2}}),
  • h é a altura de onde caiu (em \mathrm{m}),
  • E_{\text{cin}} fica em joules ( \mathrm{J}).

Passo 3

Cálculo numérico da energia cinética usando \;E_{\text{cin}}=m g h\;:
E_{\text{cin}} = 10,0 \times 9,8 \times 100 = 9800\\ \mathrm{J}.
Apresentação em notação com algarismos significativos:
E_{\text{cin}} = 9,80\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
(Reasonável usar três algarismos significativos porque os dados têm dois ou três algarismos significativos.)

Passo 4

Para obter a velocidade imediatamente antes do impacto podemos usar duas maneiras equivalentes; mostro a mais direta (energia cinética):
a energia cinética é \;E_{\text{cin}}=\tfrac{1}{2} m v^2\;. Igualando a energia potencial perdida:
\tfrac{1}{2} m v^2 = m g h.
Cancelando m dos dois lados e resolvendo para v:
v = \sqrt{2 g h}.
Aqui v fica em \mathrm{m\;s^{-1}}.

Passo 5

Cálculo numérico da velocidade usando \;v=\sqrt{2gh}\;:
v = \sqrt{2\cdot 9,8 \cdot 100} = \sqrt{1960} \approx 44,27\\ \mathrm{m\;s^{-1}}.
Arredondando de forma prática para a prova:
v \approx 44,3\\ \mathrm{m\;s^{-1}}.

Passo 6

Agora vamos transformar a energia de impacto em aumento de temperatura. A energia interna aumentada (calor recebido) é igual à energia cinética disponível:
Q = E_{\text{cin}}.
Para um sólido como o ferro, relacionamos o calor recebido com a variação de temperatura por
Q = n \,\overline{C_P}\, \Delta T,
onde:
  • n é o número de mols do bloco,
  • \overline{C_P} é o calor molar a pressão constante (dado),
  • \Delta T é a variação de temperatura em kelvin (ou em graus Celsius, porque \Delta T tem a mesma unidade nas duas escalas).
Precisamos calcular n. Convertendo massa para mols:
n = \frac{m}{M_{\mathrm{Fe}}} = \frac{10,0\\ \mathrm{kg}}{0,05585\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}}}.

Passo 7

Cálculo numérico do número de mols:
n = \frac{10,0}{0,05585} \approx 179,04\\ \mathrm{mol}.
Então a capacidade térmica total do bloco (em J/K) é
C_{\text{total}} = n\,\overline{C_P} = 179,04 \times 25,1 \approx 4496,9\\ \mathrm{J\;K^{-1}}.

Passo 8

Agora obtemos a variação de temperatura:
\Delta T = \frac{Q}{C_{\text{total}}} = \frac{E_{\text{cin}}}{n\,\overline{C_P}}.
Substituindo números:
\Delta T = \frac{9800}{4496,9} \approx 2,179\\ \mathrm{K}.
A temperatura final será
T_{\text{final}} = T_{\text{inicial}} + \Delta T = 20^\circ\mathrm{C} + 2,179^\circ\mathrm{C} \approx 22,18^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma prática:
T_{\text{final}} \approx 22,2^\circ\mathrm{C}.

Passo 9

Recapitulando as hipóteses e precisão (rápida):
  • Assumi queda livre sem resistência do ar (toda energia potencial vira energia cinética).
  • Assumi que toda a energia cinética é convertida inteiramente em energia interna do bloco (nenhuma perda para o solo, som, etc.).
  • Usei M_{\mathrm{Fe}}=55,85\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
    Essas hipóteses são as que o enunciado implica ao pedir que “toda a energia do impacto for transformada em energia interna”.

Resposta

E_{\text{cin}} = 9,80\times10^{3}\\ \mathrm{J}
v \approx 44,3\\ \mathrm{m\;s^{-1}}
T_{\text{final}} \approx 22,2^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados