Suponha o comportamento ideal, obtenha uma expressão que relacione a pressão com altura no campo gravitacional da terra. Que conclusões podem obter da expressão obtida?
Passo 1
Beleza, o enunciado quer que a gente “suponha o comportamento ideal” do ar e ache uma expressão que ligue pressão
e altura
num campo gravitacional (o da Terra).
Conteúdo: equilíbrio hidrostático de fluidos + lei dos gases ideais.
O que vamos usar:
Conteúdo: equilíbrio hidrostático de fluidos + lei dos gases ideais.
O que vamos usar:
- A equação diferencial do equilíbrio hidrostático:
. - A lei dos gases ideais para ligar densidade
e pressão : (ou numa forma de densidade: , onde é a massa molar do ar).
Passo 2
Primeiro, a gente lembra: num pedacinho de fluido em repouso, a variação da pressão com a altura satisfaz
onde
-
é a gravidade (≈ 9,8 m/s²), -
é a densidade do ar naquele nível, -
é um “pulo” em altura.
Isso vem de equilibrar o peso do fluido com a força de pressão.
Passo 3
Mas a densidade
não é constante: ela depende de
e da temperatura
. Pela lei dos gases ideais, para 1 mol de gás,
. Se considerarmos uma massa de ar com massa molar
, a densidade é
Substituindo
na equação do passo anterior:
Passo 4
Agora é só separar variáveis e integrar. Temos
Integrando de
(ao nível do mar,
) até
na altura
:
Exponenciando, vem a fórmula barométrica isoterma:
Passo 5
Conclusões legais a tirar dessa expressão:
- A pressão decai exponencialmente com a altura.
- Há uma “altura característica”
(chamada de altura de escala), na qual a pressão cai para do valor ao nível do mar. - Em altitudes elevadas o ar fica muito rarefeito, o que explica por que fica mais difícil respirar quando subimos montanhas ou voamos em grandes altitudes.
Resposta
A relação entre pressão e altura é
isto mostra que a pressão decai de forma exponencial conforme subimos na atmosfera.