Suponha o comportamento ideal, obtenha uma expressão que relacione a pressão com altura no campo gravitacional da terra. Que conclusões podem obter da expressão obtida?

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente “suponha o comportamento ideal” do ar e ache uma expressão que ligue pressão e altura num campo gravitacional (o da Terra).
Conteúdo: equilíbrio hidrostático de fluidos + lei dos gases ideais.
O que vamos usar:
  1. A equação diferencial do equilíbrio hidrostático: .
  2. A lei dos gases ideais para ligar densidade e pressão : (ou numa forma de densidade: , onde é a massa molar do ar).

Passo 2

Primeiro, a gente lembra: num pedacinho de fluido em repouso, a variação da pressão com a altura satisfaz
dp ;=;-,rho,g,dz,
onde
  • é a gravidade (≈ 9,8 m/s²),
  • é a densidade do ar naquele nível,
  • é um “pulo” em altura.
    Isso vem de equilibrar o peso do fluido com a força de pressão.

Passo 3

Mas a densidade rho = massavolume = MV = M,pR,T não é constante: ela depende de dp = -M,pR,T;g;dz e da temperatura . Pela lei dos gases ideais, para 1 mol de gás, . Se considerarmos uma massa de ar com massa molar , a densidade é
Substituindo na equação do passo anterior:

Passo 4

Agora é só separar variáveis e integrar. Temos
dpp = -M,gR,T,dz
Integrando de integralp0^p(z)dp'p' ;=;-,M,gR,T,integral0^zdz' Longrightarrow ln!p(z)p0 = -,M,g,zR,T (ao nível do mar, p(z) = p0 ,exp!l(-tfracM,g,zR,Tr) ) até na altura :
Exponenciando, vem a fórmula barométrica isoterma:

Passo 5

Conclusões legais a tirar dessa expressão:
  1. A pressão decai exponencialmente com a altura.
  2. Há uma “altura característica” (chamada de altura de escala), na qual a pressão cai para do valor ao nível do mar.
  3. Em altitudes elevadas o ar fica muito rarefeito, o que explica por que fica mais difícil respirar quando subimos montanhas ou voamos em grandes altitudes.

Resposta

A relação entre pressão e altura é
boxedp(z) = p0 exp!l(-tfracM,g,zR,Tr),
isto mostra que a pressão decai de forma exponencial conforme subimos na atmosfera.

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