Um tanque de paredes rígidas e adiabáticas, contém um gás a 2 MPa . Uma válvula do tanque é aberta e o gás escapa, até que a metade da massa inicial tenha saído. Nesse momento a válvula é fechada. Considerando que se trata de um gás ideal (perfeito) cuja relação de calores específicos k=cp / cv pode ser considerada constante e igual a 1,4, determine a pressão interna final. Despreze efeitos de energia cinética e de energia potencial gravitacional.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de volume constante e paredes adiabáticas contendo um gás ideal inicialmente à pressão P1=2,MPa e massa m1. Abre-se a válvula e sai metade da massa, ficando m2=m1/2, depois fecha-se a válvula. Desprezando energia cinética, potencial e trabalho de fronteira, queremos a pressão final P2. Vamos usar conservação de massa, energia e a equação de estado do gás ideal.

Passo 2

Conservação de massa dá imediatamente
m2 = m12
Pela conservação de energia para o volume de controle (adiabático, sem trabalho de fronteira):
U2 - U1 = -,mout,hout,
onde mout=m1-m2=m1/2 e hout=h1 (saída com as propriedades do gás no interior do tanque).

Passo 3

Substituindo U1=m1u1, U2=m2u2 e h1 = u1 + p1v1, temos
m12,u2 - m1,u1 = -m12,(u1 + p1v1)
Cancelando m1 e rearranjando resulta
u2 = 2u1 - (u1 + p1v1) = u1 - p1v1

Passo 4

Para um gás ideal u = cvT e p1v1 = RT1, com k = cp/cv e R=(k-1)cv. Logo,
u2 = cvT1 - RT1 = cv(2-k),T1
Dividindo por cv
T2 = (2-k),T1 = (2-1.4),T1 = 0.6,T1

Passo 5

Pela equação de estado pV=mRT (volume constante),
P2P1 = m2T2m1T1 = 12 times 0.6 = 0.3,
portanto
P2 = 0.3 times 2,MPa = 0.6,MPa

Resposta

A pressão interna final é 0.6,MPa.

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