12.2 O coeficiente Joule-Kelvin \mu é uma medida de variação de temperatura durante um processo de estrangulação. Uma medida análoga da variação de temperatura produzida por uma variação isentrópica de pressão é dada pelo coeficiente \mu_{S}, definido por
\mu_{S}=\left(\frac{\dot{\partial} T}{\partial P}\right)_{S}
Prove que
\mu_{S}-\mu=\frac{V}{C_{P}} .

Passo 1

O enunciado define duas coeficientes termodinâmicos:
\mu = \bigl(\frac{\partial T}{\partial P}\bigr)_{H} (coeficiente de Joule–Kelvin) e
\mu_{S} = \bigl(\frac{\partial T}{\partial P}\bigr)_{S} (variação de temperatura em processo isentrópico).
Queremos mostrar que
\mu_{S}-\mu=\frac{V}{C_{P}}.
Para isso vamos usar a diferencial da entalpia
dH = T\,dS + V\,dP,
a definição de capacidade térmica a pressão constante
C_{P} = T\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{P},
e a expressão diferencial de S em função de T e P.

Passo 2

Derivando a entropia em variáveis naturais T,P temos
dS = \Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{P}dT + \Bigl(\frac{\partial S}{\partial P}\Bigr)_{T}dP = \frac{C_{P}}{T}\,dT \;-\;\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}dP,
onde usamos a relação de Maxwell \bigl(\frac{\partial S}{\partial P}\bigr)_{T}=-\bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\bigr)_{P}.
No processo de estrangulamento (Joule–Kelvin) a entalpia é constante ( dH=0), logo
0 = T\,dS + V\,dP \quad\Longrightarrow\quad dS = -\frac{V}{T}\,dP.
Como em J–K dT = \mu\,dP, substituindo em dS escrito acima:
-\frac{V}{T}\,dP = \frac{C_{P}}{T}\,(\mu\,dP)\;-\;\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}dP \quad\Longrightarrow\quad \mu \;=\;\frac{T}{C_{P}}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}\;-\;\frac{V}{C_{P}}.

Passo 3

No processo isentrópico temos dS=0. Da expressão
dS = \frac{C_{P}}{T}\,dT \;-\;\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}dP = 0
segue
\frac{C_{P}}{T}\,dT = \Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}dP \quad\Longrightarrow\quad \mu_{S}=\Bigl(\frac{\partial T}{\partial P}\Bigr)_{S} =\frac{T}{C_{P}}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}.

Passo 4

Subtraindo as duas expressões:
\mu_{S}-\mu =\frac{T}{C_{P}}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P} -\Bigl[\frac{T}{C_{P}}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}-\frac{V}{C_{P}}\Bigr] =\frac{V}{C_{P}}.

Resposta

\mu_{S}-\mu=\frac{V}{C_{P}}.

Exercícios de Livros Relacionados