5.3 Derrama-se mercúrio dentro da extremidade aberta de um tubo de vidro de forma \mathbf{J}, o qual é fechado em seu ramo mais curto, ficando preso o ar nesta extremidade. Supondo-se que o ar se comporta como um gás perfeito, que quantidade de mercúrio pode ser introduzida no tubo antes que transborde? Os comprimentos dos ramos longo e curto, do tubo em J, são 1 m e 50 cm , respectivamente, e podem ser desprezados os efeitos devido à curvatura do fundo. Admite-se que a pressão atmosférica seja 75 cm de Hg .

Passo 1

O enunciado descreve um tubo em J com o ramo longo de comprimento L_1=1{,}00\\ \mathrm m (aberto) e o ramo curto de comprimento L_2=0{,}50\\ \mathrm m (fechado, contendo ar inicial à pressão atmosférica). Derrama-se mercúrio até que ele atinja a extremidade aberta (transborde). Sabendo que o ar se comporta como gás perfeito e que a pressão atmosférica equivale a 75\\ \mathrm{cm} de Hg, vamos usar:
  1. Equilíbrio de pressão no ponto mais baixo do tubo (densidade do mercúrio \rho e gravidade g)
  2. Lei de Boyle–Mariotte para o ar preso

Passo 2

Definimos
h_1 = \text{altura da coluna de Hg no ramo longo}, \quad h_2 = \text{altura da coluna de Hg no ramo curto}.
No ponto mais baixo do U vale
p_{\mathrm{atm}} + \rho g\,h_1 = p_{\mathrm{ar}} + \rho g\,h_2.

Passo 3

Pela lei de Boyle–Mariotte, o ar fechado tem volume inicial V_0 = A\,L_2 e pressão inicial p_{\mathrm{atm}}. Após inserir Hg até altura h_2, o volume cai para V = A\,(L_2 - h_2) e sua pressão passa a ser p_{\mathrm{ar}}. Assim
p_{\mathrm{atm}}\;L_2 \;=\; p_{\mathrm{ar}}\,(L_2 - h_2) \quad\Longrightarrow\quad p_{\mathrm{ar}} = p_{\mathrm{atm}}\;\frac{L_2}{\,L_2 - h_2\,}.

Passo 4

No momento em que o mercúrio transborda, a coluna no ramo longo atinge o topo:
h_1 = L_1.
Substituindo p_{\mathrm{ar}} e h_1=L_1 na equação do passo 2 e usando pressões em “cm de Hg” (pois p_{\mathrm{atm}}=75\\ \mathrm{cm} de Hg e \rho g se cancelam), tomamos L_1=100\\ \mathrm{cm} e L_2=50\\ \mathrm{cm}:
75 + 100 = 75\,\frac{50}{50 - h_2} + h_2.

Passo 5

Resolvendo
175 = \frac{3750}{50 - h_2} + h_2 \quad\Longrightarrow\quad 175\,(50 - h_2) = 3750 + h_2\,(50 - h_2),
8750 -175\,h_2 = 3750 +50\,h_2 - h_2^2 \quad\Longrightarrow\quad h_2^2 -225\,h_2 +5000=0.
A solução física ( 0\le h_2\le50) é
h_2 = 25\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Portanto, no transbordamento temos
h_1 =100\\ \mathrm{cm}, \quad h_2 =25\\ \mathrm{cm},
logo o total de mercúrio inserido corresponde a uma coluna de comprimento
h_1 + h_2 =100 +25 =125\\ \mathrm{cm} =1{,}25\\ \mathrm m.
Em volume, se a seção transversal do tubo for A, tem-se
V = A\,(1{,}25\\ \mathrm m).

Resposta

A coluna de mercúrio total atinge 1{,}25\\ \mathrm m de comprimento, equivalendo a um volume V=1{,}25\,A.

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