Um gás ideal, inicialmente a 600 K e 10 bar, passa por um ciclo mecanicamente reversível de quatro etapas em um sistema fechado. Na etapa 12, a pressão diminui isotermicamente para 3 bar; na etapa 23, a pressão diminui a volume constante para 2 bar; na etapa 34, o volume diminui a pressão constante; e na etapa 41, o gás retorna adiabaticamente ao seu estado inicial. Considere C_{P}=(7 / 2) R e C_{V}=(5 / 2) R.
(a) Determine (quando desconhecidos) os valores de P e T para os estados 1, 2, 3 e 4.
(b) Esboce o ciclo em um diagrama P V.
(c) Calcule W, Q, \Delta U e \Delta H para cada etapa do ciclo.

Passo 1

O enunciado descreve um gás ideal em um ciclo mecanicamente reversível de quatro etapas num sistema fechado. Temos:
– Estado 1: P_{1}=10\\ \text{bar}, T_{1}=600\\ \text{K}.
1\to 2: expansão isotérmica até P_{2}=3\\ \text{bar} mantendo T_{2}=T_{1}.
2\to 3: resfriamento a volume constante até P_{3}=2\\ \text{bar}.
3\to 4: compressão a pressão constante até P_{4}=P_{3}.
4\to 1: compressão adiabática reversível retornando a P_{1},T_{1}.
O conteúdo necessário inclui a lei dos gases ideais, relações de processos isotérmico, isocórico, isobárico e adiabático, e as expressões \Delta U = nC_{V}\Delta T, \Delta H = nC_{P}\Delta T,
e para trabalho em processos reversíveis. Usaremos uma mola de gás (ou n=1 mol) para simplificar.

Passo 2

Determinar estados 2 e 3 usando lei dos gases ideais:
1\to 2 isotérmico em T=600\\ \text{K}, logo
P_{2}=3\\ \text{bar},\quad T_{2}=600\\ \text{K}.
2\to 3 isocórico V_{2}=V_{3}, então P/T= constante:
T_{3} = T_{2}\,\frac{P_{3}}{P_{2}} =600\,\frac{2}{3}=400\\ \text{K},\quad P_{3}=2\\ \text{bar}.
3\to 4 isobárico P_{4}=2\\ \text{bar}, usa-se V\propto T:
V_{4}=V_{3}\,\frac{T_{4}}{T_{3}}.
4\to 1 adiabático reversível dá
T\,V^{\gamma-1}=\text{const},\quad \gamma=\frac{C_{P}}{C_{V}}=\frac{7/2}{5/2}=1{,}4.
Combinando as duas relações (isobárica 3–4 e adiabática 4–1) e usando \tfrac{V_{1}}{V_{3}}=\tfrac{(R\,600/10)}{(R\,400/2)}=0{,}3, obtém-se
T_{4}^{\gamma} = T_{1}\,T_{3}^{\,\gamma-1}\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{3}}\Bigr)^{\gamma-1} \quad\Rightarrow\quad T_{4}\approx379\\ \text{K},
e assim
P_{4}=2\\ \text{bar},\quad T_{4}\approx379\\ \text{K}.

Passo 3

No diagrama P\!-\!V o ciclo é:
1\to 2: ramo isotérmico descendente de 10 bar a 3 bar;
2\to 3: vertical para baixo ( V fixa ) de 3 bar a 2 bar;
3\to 4: ramo horizontal para a esquerda ( P fixa em 2 bar ) até o volume de estado 4;
4\to 1: curva adiabática de volta a P=10 bar, V=V_{1}.

Passo 4

Calcular W,Q,\Delta U,\Delta H em 1\to 2 (isotérmico):
W_{12}=nRT_{1}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}} =nRT_{1}\ln\frac{P_{1}}{P_{2}} =1\cdot R\cdot600\ln\frac{10}{3},
\Delta U_{12}=0,\quad \Delta H_{12}=0,\quad Q_{12}=W_{12}=600R\ln\frac{10}{3}.

Passo 5

Em 2\to 3 (isocórico):
W_{23}=0,\quad \Delta U_{23}=nC_{V}(T_{3}-T_{2}) =\frac{5}{2}R\,(400-600)=-500R,
\Delta H_{23}=nC_{P}(T_{3}-T_{2}) =\frac{7}{2}R\,(400-600)=-700R, \quad Q_{23}=\Delta U_{23}=-500R.

Passo 6

Em 3\to 4 (isobárico):
W_{34}=P_{3}(V_{4}-V_{3}) =nR(T_{4}-T_{3})=R\,(379-400)=-21{,}3R,
\Delta H_{34}=nC_{P}(T_{4}-T_{3}) =\frac{7}{2}R\,(379-400)=-74{,}55R,
\Delta U_{34}=nC_{V}(T_{4}-T_{3}) =\frac{5}{2}R\,(379-400)=-53{,}25R, \quad Q_{34}=\Delta H_{34}=-74{,}55R.

Passo 7

Em 4\to 1 (adiabático reversível):
Q_{41}=0,\quad \Delta U_{41}=nC_{V}(T_{1}-T_{4}) =\frac{5}{2}R\,(600-379)\approx553{,}25R,
W_{41}=\Delta U_{41}=553{,}25R,\quad \Delta H_{41}=nC_{P}(T_{1}-T_{4}) =\frac{7}{2}R\,(600-379)\approx774{,}55R.

Resposta

(a) \displaystyle P_{1}=10\\ \text{bar},\,T_{1}=600\\ \text{K};\; P_{2}=3\\ \text{bar},\,T_{2}=600\\ \text{K};\; P_{3}=2\\ \text{bar},\,T_{3}=400\\ \text{K};\; P_{4}=2\\ \text{bar},\,T_{4}\approx379\\ \text{K}.
(b) Ciclo no diagrama P\!-\!V: isotérmico 1–2, isocórico 2–3, isobárico 3–4, adiabático 4–1.
(c) Para n=1 mol:
1\to 2: \displaystyle W=600R\ln\frac{10}{3},\;Q=600R\ln\frac{10}{3},\;\Delta U=0,\;\Delta H=0. 2\to 3: \displaystyle W=0,\;Q=-500R,\;\Delta U=-500R,\;\Delta H=-700R. 3\to 4: \displaystyle W=-21{,}3R,\;Q=-74{,}55R,\;\Delta U=-53{,}25R,\;\Delta H=-74{,}55R. 4\to 1: \displaystyle W=553{,}25R,\;Q=0,\;\Delta U=553{,}25R,\;\Delta H=774{,}55R.

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