Um gás ideal sofre uma compressão isocórica a um volume V. Determine o trabalho realizado, o calor absorvido, a variação da energia e a variação da entropia quando a pressão passa de p_{1} até p_{2}.

Passo 1

O enunciado diz que um gás ideal sofre uma compressão isocórica (volume constante V) fazendo a pressão passar de p_{1} para p_{2}. Precisamos usar:
  1. A definição de trabalho em termodinâmica,
  2. A primeira lei \Delta U = Q - W,
  3. A dependência de U de um gás ideal somente da temperatura U = U(T),
  4. A equação de estado pV = nRT,
  5. A fórmula da variação de entropia em processo reversível.

Passo 2

Em volume constante \mathrm{d}V=0, o trabalho realizado pelo gás é
W \;=\;\int_{V}^{V} p\,\mathrm{d}V \;=\;0.

Passo 3

Para um gás ideal, a energia interna depende só da temperatura e vale \mathrm{d}U = n\,C_{V}\,\mathrm{d}T. Então
\Delta U \;=\; n\,C_{V}\,(T_{2}-T_{1}).
Pela equação de estado,
T_{1} = \frac{p_{1}\,V}{n\,R}, \qquad T_{2} = \frac{p_{2}\,V}{n\,R},
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\Delta U = n\,C_{V}\,\frac{V}{n\,R}\,(p_{2}-p_{1}) = \frac{C_{V}}{R}\,V\,(p_{2}-p_{1}).

Passo 4

A primeira lei dá
\Delta U = Q - W
e como W=0, temos
Q = \Delta U = \frac{C_{V}}{R}\,V\,(p_{2}-p_{1}).

Passo 5

Em processo reversível,
\mathrm{d}S = \frac{\delta Q_{\rm rev}}{T} = \frac{n\,C_{V}\,\mathrm{d}T}{T}
e integrando de 1 a 2:
\Delta S = n\,C_{V}\,\ln\frac{T_{2}}{T_{1}} = n\,C_{V}\,\ln\frac{p_{2}}{p_{1}},
pois em V=\mathrm{cte} vale \tfrac{T_{2}}{T_{1}}=\tfrac{p_{2}}{p_{1}}.

Resposta

W =0. Q = \displaystyle \frac{C_{V}}{R}\,V\,(p_{2}-p_{1}). \displaystyle \Delta U = \frac{C_{V}}{R}\,V\,(p_{2}-p_{1}). \displaystyle \Delta S = n\,C_{V}\,\ln\!\biggl(\tfrac{p_{2}}{p_{1}}\biggr).

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