Uma mistura eqüimolar de etileno e propileno deve ser introduzida em um tanque que está a 5 bar. A que temperatura a mistura será 50 \% vapor e 50 \% líquida?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma mistura eqüimolar z_{\text{C}_2}=z_{\text{C}_3}=0,5 de etileno e propileno num tanque a P=5,bar, e quer a temperatura em que a mistura está 50\% vapor \varphi=0,5 e 50\% líquida.
Conteúdo: equilíbrio líquido-vapor ideal (Raoult), coeficientes de partição K_i, balanços de massa em flash.

Passo 2

Em um flash temos, para cada componente i:
balanço global F=V+L e balanço por componente
F\,z_i \;=\; V\,y_i \;+\; L\,x_i,
além da relação de equilíbrio y_i = K_i\,x_i. A qualidade é \varphi=V/F. Tomando F=1 e \varphi=0,5 V=L=0,5.

Passo 3

Do balanço por componente:
z_i \;=\; 0,5\,y_i + 0,5\,x_i \quad\Longrightarrow\quad z_i = 0,5\,K_i\,x_i + 0,5\,x_i = 0,5\,x_i\,(1+K_i)
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x_i = \frac{2\,z_i}{1+K_i}.
Como \sum_i x_i=1 e z_i=0,5 para i=1,2, vem
\sum_{i=1}^2 \frac{2\,z_i}{1+K_i} \;=\;1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{1+K_1}+\frac{1}{1+K_2}=1.

Passo 4

Cada K_i é
K_i = \frac{P_i^{\rm sat}(T)}{P},
e P_i^{\rm sat}(T) obedece à equação de Antoine (pressão em bar, T em kelvin). Usamos parâmetros aproximados:
para etileno,
\log_{10}P_{\text{C}_2}^{\rm sat} =4.29138 \;-\;\frac{695{,}002}{T - 38{,}610},
para propileno,
\log_{10}P_{\text{C}_3}^{\rm sat} =4.01459 \;-\;\frac{724{,}835}{T - 45{,}280}.
Então em cada T calculamos
P_i^{\rm sat}=10^{\log_{10}P_i^{\rm sat}}, \quad K_i=P_i^{\rm sat}/5,
e verificamos se \tfrac1{1+K_1}+\tfrac1{1+K_2}=1.

Passo 5

Fazendo tentativas:
T =245 K: P_1^{\rm sat}\approx8{,}39 bar, K_1\approx1{,}678; P_2^{\rm sat}\approx2{,}43 bar, K_2\approx0{,}486;
soma 1/(1+K_1)+1/(1+K_2)\approx1{,}046>1.
T =250 K: P_1^{\rm sat}\approx10{,}05 bar, K_1\approx2{,}01; P_2^{\rm sat}\approx2{,}97 bar, K_2\approx0{,}594;
soma \approx0{,}959<1.
Interpolando linearmente entre 245 K e 250 K, achamos
T\approx245 + \frac{1{,}046-1}{1{,}046-0{,}959}\times5 \approx247{,}7\text{ K}.

Resposta

A temperatura de equilíbrio ( 50\% vapor e 50\% líquido) é aproximadamente
T \approx 247{,}7\text{ K} \quad(\approx -25{,}4{^\circ\!C}).

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