Tijolo refratário com 0,06 \mathrm{~m} de espessura, 0,09 \mathrm{~m} de comprimento e 0,20 \mathrm{~m} de altura é removido de um forno de a 1600 K e resfriado ao ar 40^{\circ} \mathrm{C} com \mathrm{h}=50 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Determine:
a) Qual será a temperatura do centro do tijolo após 50 minutos de resfriamento?
b) Qual será a temperatura da superfície externa do tijolo após 50 minutos de resfriamento?
c) A taxa de calor transferido por convecção após 50 minutos de resfriamento?
d) Qual o tempo necessário para a temperatura no plano central do tijolo alcançar 500^{\circ} \mathrm{C} ?
e) Qual o tempo necessário para a temperatura na superfície do tijolo alcançar 500^{\circ} \mathrm{C} ?
f) A quantidade total de calor transferido durante o processo?
Dados: \rho=1920 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{k}=0,72 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ; \mathrm{c}=875 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}

Passo 1

O enunciado trata de um resfriamento transiente de um tijolo refratário modelado como uma chapa de espessura total L_{\text{tot}}=0,06\\ \mathrm{m} com convecção em ambas as faces (coeficiente h=50\\ \mathrm{W/m^2K}, temperatura do ar T_\infty=40^\circ\mathrm{C}=313\\ \mathrm{K}). A temperatura inicial é uniforme T_i=1600\\ \mathrm{K}. Os demais dados são \rho=1920\\ \mathrm{kg/m^3}, k=0,72\\ \mathrm{W/m\cdot K}, c=875\\ \mathrm{J/kg\cdot K}. Vamos aplicar a solução analítica para condução unidimensional num slab simétrico, usando o primeiro termo da série (autovalor \zeta_1).

Passo 2

Calcular os parâmetros físicos e adimensionais:
\alpha=\frac{k}{\rho\,c}=\frac{0{,}72}{1920\cdot875}\approx4{,}29\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s},\quad L=\frac{L_{\text{tot}}}{2}=0{,}03\\ \mathrm{m}.
\mathrm{Bi}=\frac{h\,L}{k}=\frac{50\cdot0{,}03}{0{,}72}\approx2{,}083,\quad \mathrm{Fo}=\frac{\alpha\,t}{L^2}.
Para t=50\\ \mathrm{min}=3000\\ \mathrm{s},
\mathrm{Fo}=\frac{4{,}29\times10^{-7}\cdot3000}{(0{,}03)^2}\approx1{,}43.

Passo 3

Determinar o primeiro autovalor \zeta_1 da transcendental
\zeta\tan\zeta=\mathrm{Bi}.
Por tentativa numérica obtém-se \zeta_1\approx1{,}093.

Passo 4

Calcular o coeficiente C_1 da série pelo padrão para slab simétrico:
C_1=\frac{4\sin\zeta_1}{2\,\zeta_1+\sin(2\zeta_1)}.
Com \sin\zeta_1\approx0{,}888 e \sin(2\zeta_1)\approx0{,}822,
C_1\approx\frac{4\cdot0{,}888}{2\cdot1{,}093+0{,}822}\approx1{,}18.

Passo 5

Temperatura no centro x=0 após t=50\\ \mathrm{min}, usando o primeiro termo:
\frac{T_c(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}\approx C_1\exp\bigl(-\zeta_1^2\,\mathrm{Fo}\bigr).
Logo
T_c= T_\infty+(T_i-T_\infty)\,C_1 e^{-\zeta_1^2\cdot1{,}43} \approx313 +1287\cdot1{,}18\,e^{-1{,}093^2\cdot1{,}43} \approx588\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Temperatura na superfície x=L após t=50\\ \mathrm{min}:
\frac{T_s-T_\infty}{T_i-T_\infty}\approx C_1\cos\zeta_1\;e^{-\zeta_1^2\,\mathrm{Fo}}.
Como \cos\zeta_1\approx0{,}459,
T_s\approx313+1287\cdot1{,}18\cdot0{,}459\;e^{-1{,}093^2\cdot1{,}43} \approx440\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Taxa de calor por convecção em t=50\\ \mathrm{min}:
área das duas faces maiores A=2\,(0{,}09\cdot0{,}20)=0{,}036\\ \mathrm{m^2},
\dot Q=h\,A\,(T_s-T_\infty)=50\cdot0{,}036\,(440-313)\approx229\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Tempo para T_c=500^\circ\mathrm{C}=773\\ \mathrm{K}. Seja \theta_c/\theta_i= (773-313)/1287\approx0{,}357.
Pela aproximação de um termo:
C_1\exp(-\zeta_1^2\,\mathrm{Fo})=0{,}357 \;\Longrightarrow\; \mathrm{Fo}=\frac{-\ln(0{,}357/C_1)}{\zeta_1^2}\approx1{,00}.
Então
t=\frac{\mathrm{Fo}\,L^2}{\alpha}\approx\frac{1{,}00\cdot(0{,}03)^2}{4{,}29\times10^{-7}}\approx2100\\ \mathrm{s}\approx35\\ \mathrm{min}.

Passo 9

Tempo para T_s=773\\ \mathrm{K}: \theta_s/\theta_i=0{,}357 e \theta_s/\theta_i\approx C_1\cos\zeta_1\,e^{-\zeta_1^2\,\mathrm{Fo}}.
\mathrm{Fo}=\frac{-\ln\bigl(0{,}357/(C_1\cos\zeta_1)\bigr)}{\zeta_1^2}\approx0{,}352,
t=\frac{0{,}352\,(0{,}03)^2}{4{,}29\times10^{-7}}\approx740\\ \mathrm{s}\approx12{,}3\\ \mathrm{min}.
Quantidade total de calor removido até o equilíbrio:
Q_{\text{tot}}=m\,c\,(T_i-T_\infty), \quad m=\rho\,V=\;1920\cdot(0{,}06\cdot0{,}09\cdot0{,}20)\approx2{,}074\\ \mathrm{kg},
Q_{\text{tot}}\approx2{,}074\cdot875\cdot1287\approx2{,}34\times10^{6}\\ \mathrm{J}.

Resposta

a) T_c(50\\ \mathrm{min})\approx588\\ \mathrm{K}.
b) T_s(50\\ \mathrm{min})\approx440\\ \mathrm{K}.
c) \dot Q(50\\ \mathrm{min})\approx229\\ \mathrm{W}.
d) t para T_c=500^\circ\mathrm{C}\approx35\\ \mathrm{min}.
e) t para T_s=500^\circ\mathrm{C}\approx12{,}3\\ \mathrm{min}.
f) Q_{\text{tot}}\approx2{,}34\times10^{6}\\ \mathrm{J}.

Exercícios relacionados