Ex. 3 - Transferimos 1000 J na forma de calor Q para um gás diatômico, permitindo que o gás se expanda com a pressão mantida constante. As moléculas do gás podem girar, mas não oscilam. (a) Que parte dos 1000 Jé convertida em energia interna do gás? (b) Dessa parte, que parcela corresponde a \Delta \mathrm{K}_{\text {trans }} (energia cinética associada ao movimento de translação das moléculas) e que parcela corresponde a \Delta \mathrm{K}_{\text {rot }} (energia cinética associada ao movimento de rotação)?

Passo 1

O enunciado diz que fornecemos Q=1000 J de calor a um gás diatômico que tem apenas 3 graus de liberdade de translação e 2 de rotação (não há vibração), mantendo a pressão constante. Queremos (a) a parte de Q que vai para a variação da energia interna \Delta U e (b) dentro de \Delta U, quanto cabe à energia cinética de translação \Delta K_{\text{trans}} e quanto cabe à de rotação \Delta K_{\text{rot}}. Vamos usar a primeira lei da termodinâmica e o princípio da equipartição de energia.

Passo 2

A primeira lei diz
Q = \Delta U + W,
onde, em processo a pressão constante, o trabalho é
W = p\,\Delta V = nR\,\Delta T.
Para um gás ideal diatômico sem vibração temos
C_v = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R, \quad C_p = C_v + R = \frac{7}{2}R.
Também vale Q = nC_p\,\Delta T e \Delta U = nC_v\,\Delta T. Dividindo estas duas expressões, obtemos
\frac{\Delta U}{Q} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{\tfrac{5}{2}R}{\tfrac{7}{2}R} = \frac{5}{7}.

Passo 3

Logo, a parte do calor que aumenta a energia interna é
\Delta U = \frac{5}{7}\,Q = \frac{5}{7}\times 1000\\ \text{J} = 714{,}3\\ \text{J}.

Passo 4

Pela equipartição, cada grau de liberdade recebe mesma fração de \Delta U. Há 5 graus no total, dos quais 3 são de translação e 2 de rotação. Assim,
\Delta K_{\text{trans}} = \frac{3}{5}\,\Delta U = \frac{3}{5}\times 714{,}3\\ \text{J} = 428{,}6\\ \text{J},
\Delta K_{\text{rot}} = \frac{2}{5}\,\Delta U = \frac{2}{5}\times 714{,}3\\ \text{J} = 285{,}7\\ \text{J}.

Resposta

(a) 714{,}3\\ \text{J}
(b) \Delta K_{\text{trans}} = 428{,}6\\ \text{J}, \Delta K_{\text{rot}} = 285{,}7\\ \text{J}

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