8.4 Considere uma máquina térmica ciclica internamente reversivel (Ciclo de Carnot) que opera com dois trocadores de calor. Os trocadores apresentam C_{H}=5 \mathrm{~kW} / \mathrm{K} e C_{L}=10 \mathrm{~kW} / \mathrm{K} (veja a Sec. 6.10). A temperatura do reservatório a alta temperatura é 700^{\circ} \mathrm{C} e a do ambiente é 25^{\circ} \mathrm{C}. As temperaturas no ciclo de Camot são escolhidas de modo que a potência produzida seja a máxima possivel. Determine a potência produzida e a taxa de geração de irreversibilidade na máquina térmica.

Passo 1

O enunciado descreve uma máquina de Carnot internamente reversível que recebe calor de um reservatório a alta temperatura T_H e rejeita a baixa temperatura T_L através de trocadores com capacitâncias térmicas C_H e C_L. Queremos escolher as temperaturas de entrada e saída do ciclo ( T_{H1} e T_{L1}) para maximizar a potência produzida. Usaremos: balanço de energia nos trocadores, condição de reversibilidade interna e otimização da potência em função da razão x = T_{L1}/T_{H1}.

Passo 2

Expressamos as taxas de calor nos trocadores e a condição de ciclo internamente reversível:
Q_H = C_H\bigl(T_H - T_{H1}\bigr),
Q_L = C_L\bigl(T_{L1} - T_L\bigr),
\text{e}\quad \frac{Q_L}{Q_H}=\frac{T_{L1}}{T_{H1}}\,.
A potência é
W = Q_H - Q_L = Q_H\Bigl(1 - \frac{T_{L1}}{T_{H1}}\Bigr).

Passo 3

Definimos x = T_{L1}/T_{H1}. A condição Q_L/Q_H = x leva a
T_H - T_{H1} =\frac{C_L}{(C_H+C_L)\,x}\bigl(x\,T_H - T_L\bigr).
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Q_H =\frac{C_H\,C_L}{(C_H+C_L)\,x}\bigl(x\,T_H - T_L\bigr) \quad\Longrightarrow\quad W = Q_H\,(1 - x) =\frac{C_H\,C_L}{C_H+C_L}\; \frac{(x\,T_H - T_L)\,(1-x)}{x}.

Passo 4

Para maximizar W derivamos em relação a x:
\frac{dW}{dx}=0\quad\Rightarrow\quad x = \sqrt{\frac{T_L}{T_H}}.
Numericamente, com T_H=700+273=973,K e T_L=25+273=298,K, temos
x = \sqrt{\frac{298}{973}}\approx0{,}5535.

Passo 5

Calculamos então
Q_H = C_H\,(T_H - T_{H1}) \quad\text{e}\quad Q_L = x\,Q_H,
onde T_{H1} obtido pela relação do Passo 3. Numericamente:
Q_H\approx1447{,}1\;\text{kW},\quad Q_L\approx801{,}0\;\text{kW},
W = Q_H - Q_L\approx646{,}1\;\text{kW}.

Passo 6

A geração de irreversibilidade (exergia destruída) é
\dot S_{gen} = \frac{Q_L}{T_L} - \frac{Q_H}{T_H}, \quad I = T_L\,\dot S_{gen}.
Substituindo valores:
\dot S_{gen}\approx1{,}20\;\text{kW/K}, \quad I\approx298\times1{,}20\approx358\;\text{kW}.

Resposta

Potência máxima produzida W\approx646,kW
Taxa de geração de irreversibilidade I\approx358,kW

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