Um tubo de um trocador de calor, de 2,0 \mathrm{~cm} de diâmetro externo, tem 18 aletas longitudinais de aço ( \mathrm{k}_{\text {aço }}=40 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}ç ), com 2,0 cm de altura e 1,5 \mathrm{~mm} de espessura. O fluido ambiente está a 25^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de película 50 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura da parede do tubo é 100^{\circ} \mathrm{C}. Calcular:
a) a eficiência da aleta;
b) o aumento em % do calor transmitido, por unidade de comprimento de tubo isento de aletas, nas mesmas condições.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • diâmetro externo do tubo: D = 2{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}02\\ \mathrm{m};
    • número de aletas longitudinais: n = 18;
    • altura da aleta (comprimento radial da aleta): L = 2{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}02\\ \mathrm{m};
    • espessura da aleta: t = 1{,}5\\ \mathrm{mm} = 0{,}0015\\ \mathrm{m};
    • condutividade térmica do aço: k = 40\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}\,^{\circ}\mathrm{C});
    • coeficiente de película (convecção): h = 50\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}^{2}\,^{\circ}\mathrm{C});
    • temperatura do fluido ambiente: T_{\infty} = 25^{\circ}\mathrm{C};
    • temperatura da parede do tubo (base das aletas): T_{b} = 100^{\circ}\mathrm{C}.
  • O enunciado pede:
    (a) a eficiência da aleta;
    (b) o aumento em percentual (%) do calor transmitido por unidade de comprimento do tubo quando o tubo tem as aletas, em comparação com o tubo liso nas mesmas condições.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Definição de eficiência de uma aleta:
    \eta = \frac{\text{calor real transferido pela aleta}}{\text{calor que seria transferido se toda a aleta estivesse à temperatura da base}}.à
    Ou seja, \eta = q_{\text{real}}/(h A_{\text{fin}} \Delta T), onde A_{\text{fin}} é a área total de troca da aleta e \Delta T = T_{b}-T_{\infty}.
  • Modelo simplificado (a mais usada em provas): a aleta é uma placa de espessura constante com ambas as faces submetidas à convecção. Para esse caso definimos:
    • área de seção transversal da aleta (por unidade de comprimento axial do tubo): A_{c} = t \times 1 = t (porque estamos usando 1 m de comprimento do tubo como profundidade);
    • perímetro molhado da aleta (por unidade de comprimento axial): P = 2 (as duas faces);
    • parâmetro m que aparece na solução da equação diferencial da temperatura na aleta: m = \sqrt{\frac{h P}{k A_{c}}}.Aqui m tem unidade de \mathrm{m}^{-1} e mede a rapidez com que a temperatura decai ao longo da aleta.
  • Expressão prática para eficiência (aproximação muito usada e adequada quando a área da ponta da aleta é pequena em comparação com a área das faces):
    \eta \approx \frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}.
    Essa fórmula é obtida para uma aleta de seção constante com ponta aproximadamente isolada ou quando a área da ponta é negligenciável; é simples e bastante utilizada em exercícios. Vamos justificar a aplicação: aqui a área da ponta por aleta é t\cdot 1 = 0{,}0015\\ \mathrm{m}^{2}, enquanto a área das faces é 2L\cdot 1 = 0{,}04\\ \mathrm{m}^{2}; a ponta representa apenas cerca de 3{,}75\% da área da aleta, logo a aproximação é aceitável e simplifica a conta sem erro significativo.
  • Como comparar o tubo com aletas e o tubo liso por unidade de comprimento:
    • calor por unidade de comprimento para tubo liso: q_{\text{liso}} = h A_{\text{liso}} \Delta T,\quad A_{\text{liso}} = \pi D \\ (\text{área por unidade de comprimento}).á
    • calor por unidade de comprimento com aletas: q_{\text{com}} = q_{\text{bare}} + n q_{\text{fin}},onde q_{\text{bare}} = h A_{\text{bare}} \Delta T é o calor do trecho de tubo exposto sem aletas e q_{\text{fin}} = \eta h A_{\text{fin}} \Delta T é o calor fornecido por cada aleta; A_{\text{bare}} = (\pi D - n t) é a parcela de perímetro do tubo não ocupada pelas bases das aletas (por unidade de comprimento) e A_{\text{fin}} = 2L + t é a área de troca de cada aleta por unidade de comprimento (duas faces mais a ponta).
  • Por fim o aumento percentual pedido será
    \text{aumento \%} = \frac{q_{\text{com}}-q_{\text{liso}}}{q_{\text{liso}}}\times 100\%.

Passo 3

Cálculo do parâmetro m. Substituindo P=2, A_{c}=t, h e k:
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_{c}}} = \sqrt{\frac{50\cdot 2}{40\cdot 0{,}0015}}.
Calcule passo a passo:
50\cdot 2 = 100,\qquad 40\cdot 0{,}0015 = 0{,}06,
\frac{100}{0{,}06} = 1666{,}666\ldots,
m = \sqrt{1666{,}666\ldots} \approx 40{,}824829\\ \mathrm{m}^{-1}.

Passo 4

Cálculo de mL, da função hiperbólica e da eficiência:
mL = 40{,}824829 \times 0{,}02 = 0{,}8164966.
Usando a fórmula aproximada da eficiência:
\eta \approx \frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}.
Calculando:
\operatorname{tanh}(0{,}8164966) \approx 0{,}6730,
\eta \approx \frac{0{,}6730}{0{,}8164966} \approx 0{,}8247 \approx 0{,}825.
Interpretação: a aleta opera com eficiência de aproximadamente 82{,}5\%.

Passo 5

Calcule o calor por unidade de comprimento para o tubo liso (referência):
\Delta T = T_{b}-T_{\infty} = 100-25 = 75\\ ^{\circ}\mathrm{C},
A_{\text{liso}} = \pi D = \pi\cdot 0{,}02 \\ \mathrm{m} \approx 0{,}0628319\\ \mathrm{m}^{2}\\ \text{(por m de comprimento)}.
q_{\text{liso}} = h A_{\text{liso}} \Delta T = 50 \times 0{,}0628319 \times 75 \approx 235{,}62\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}).

Passo 6

Área de troca de cada aleta e área do tubo descoberta:
A_{\text{fin}} = 2L + t = 2\cdot 0{,}02 + 0{,}0015 = 0{,}0415\\ \mathrm{m}^{2}\\ \text{(por m de comprimento, por aleta)}.
Área do tubo ocupada por todas as bases das aletas (soma das espessuras ao redor do perímetro):
n t = 18 \times 0{,}0015 = 0{,}027\\ \mathrm{m}.
Área de tubo não ocupada (por unidade de comprimento):
A_{\text{bare}} = \pi D - n t = 0{,}0628319 - 0{,}027 = 0{,}0358319\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 7

Calcular o calor fornecido por uma aleta e o total com todas as aletas:
q_{\text{fin}} = \eta\, h\, A_{\text{fin}}\, \Delta T = 0{,}8247 \times 50 \times 0{,}0415 \times 75.
Calcule por etapas:
50\times 0{,}0415 = 2{,}075,
2{,}075\times 75 = 155{,}625,
q_{\text{fin}} \approx 0{,}8247 \times 155{,}625 \approx 128{,}39\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}) \\ \text{(por aleta)}.
Total das aletas:
n q_{\text{fin}} = 18 \times 128{,}39 \approx 2310{,}99\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}).
Calor do trecho de tubo exposto (sem aletas):
q_{\text{bare}} = h A_{\text{bare}} \Delta T = 50 \times 0{,}0358319 \times 75 \approx 134{,}37\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}).
Portanto o calor total com aletas por unidade de comprimento é:
q_{\text{com}} = q_{\text{bare}} + n q_{\text{fin}} \approx 134{,}37 + 2310{,}99 = 2445{,}36\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}).

Passo 8

Cálculo do aumento percentual do calor transmitido:
\text{aumento \%} = \frac{q_{\text{com}}-q_{\text{liso}}}{q_{\text{liso}}}\times 100\% = \frac{2445{,}36 - 235{,}62}{235{,}62}\times 100\%.
\text{aumento \%} \approx \frac{2209{,}74}{235{,}62}\times 100\% \approx 938{,}3\%.
Interpretação final: com 18 aletas assim descritas o tubo transmite muito mais calor por unidade de comprimento (aproximadamente 9,38 vezes o que transmitia sem aletas), devido ao grande aumento da área de troca.

Resposta

\text{(a)}\\ \eta \approx 0{,}825\\ (82{,}5\%)
\text{(b)}\\ \text{Aumento} \approx 938{,}3\%

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