Deseja-se isolar termicamente o casco de um condensador de vapor, de comprimento 2 m e diâmetro externo 1 m , construído com chapas de aço
de
de espessura, aplicando, por fora, isolante
vendido em mantas de 5 mm de espessura. A temperatura de condensação do vapor é
, a temperatura do ambiente é igual a
; o coeficiente de película do vapor é igual a:
; do ar atmosférico é igual a:
. O isolamento deve ser feito de modo que a temperatura na face externa do isolante não ultrapasse
. Pede-se, após o isolamento:
a) Quais parcelas de resistência térmica devem ser desprezadas?
b) A quantidade de calor perdido por hora pelo casco
c) A espessura do isolante necessária.
a) Quais parcelas de resistência térmica devem ser desprezadas?
b) A quantidade de calor perdido por hora pelo casco
c) A espessura do isolante necessária.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
-
Geometria do casco (antes do isolamento):
- Comprimento:
. - Diâmetro externo do casco (superfície externa do aço antes do isolante):
. Logo raio externo do aço: . - Espessura da chapa de aço:
. Assim raio interno do aço: .
- Comprimento:
-
Propriedades térmicas:
- Condutividade térmica do aço:
. - Condutividade térmica do isolante:
. - Espessura das mantas:
(cada manta).
- Condutividade térmica do aço:
-
Condições térmicas / convecção:
- Temperatura de condensação (fluido interno):
. - Temperatura ambiente:
. - Coeficiente convectivo do vapor (lado interno):
. - Coeficiente convectivo do ar (lado externo):
.
- Temperatura de condensação (fluido interno):
-
Condição imposta pelo enunciado:
- A temperatura na face externa do isolante não deve ultrapassar
. Ou seja, queremos projetar o isolante tal que . No cálculo tomaremos como valor limite de projeto.
- A temperatura na face externa do isolante não deve ultrapassar
-
O enunciado pede:
(a) Quais parcelas de resistência térmica devem ser desprezadas?
(b) A quantidade de calor perdido por hora pelo casco após o isolamento (isto é, com a espessura de isolante que garante).
(c) A espessura do isolante necessária (em metros/mm e quantas mantas de 5 mm).
Passo 2
Vamos lembrar e explicar as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
- Resistência por convecção (superfície plana ou curva): a queda de temperatura por convecção numa superfície de área
é com
onde
é o coeficiente convectivo (unidade
) e
a área de troca (m
). Intuição: quanto maior
ou
, menor a resistência e maior o calor transferido.
- Resistência por condução em uma parede cilíndrica (entre raios
e e comprimento ):
onde
é a condutividade (unidade
). Intuição: para cilindro a área varia com raio, daí aparecer o logaritmo.
- Área lateral de cilindro (para comprimento
e raio ):
A configuração térmica do problema (do interior para o exterior) é, em série:
- resistência convectiva do vapor
, com ; - resistência por condução através do aço
; - resistência por condução através do isolante
, onde é o raio externo depois do isolante; - resistência convectiva externa
, com .
O fluxo térmico em regime estacionário
(kcal/h) satisfaz:
No entanto, como temos a restrição
(temperatura na face externa do isolante), uma forma prática é usar o fato de que o calor que sai pela convecção externa é
Esse
deve ser o mesmo que atravessa as resistências internas, então impondo
Nesta equação a incógnita é
(aparece em
dentro de
e em
). Vamos usá‑la para achar
.
Passo 3
Calcular áreas, resistências fixas e ver ordens de grandeza para decidir quais parcelas podem ser desprezadas (aqui eu mostro os cálculos num passo e já explico por que algumas resistências são pequenas).
Primeiro as áreas e resistências que não dependem do isolante:
- Área interna do aço (área de troca com o vapor):
- Resistência convectiva do vapor:
Comentário: extremante pequena (praticamente desprezível).
- Resistência por condução no aço:
Calculemos os números:
Logo
Comentário: maior que
mas ainda pequena frente a resistências de isolante e convecção externa (ver abaixo).
Agora vamos avaliar as resistências que dependem do isolante e da área externa para um palpite inicial de espessura — como precisamos que
, é útil calcular
a partir da convecção externa em função de
:
Com
e
,
Agora vejamos ordens de grandeza: queremos comparar
e
com a resistência do isolante e com a resistência convectiva externa
.
Tomando a espessura estimada pequena de isolante
(palpite), temos
e
Comparando:
-
(muito pequeno), -
(ainda muito menor que ), -
, - A resistência do isolante esperada (com
pequeno) será da ordem de a (ver cálculo adiante).
Conclusão (prévia e justificada numericamente):
e
são muito menores que as resistências do isolante e da convecção externa e portanto podem ser desprezadas para propósitos práticos de dimensionamento (será respondido formalmente no item (a)). Mas faremos os cálculos retendo-os para mostrar a comparação numérica.
Passo 4
Montagem da equação para determinar a espessura do isolante
(passo a passo didático).
Queremos
. O calor que sai pela convecção externa é
com
e
.
Esse mesmo
atravessa as resistências internas entre
e
:
Igualando as duas expressões obtemos a equação que determina
:
Substituamos valores numéricos conhecidos e simplifiquemos para resolver numericamente por iteração (a equação é transcendental porque
contém
e também
aparece na área externa).
Dados usados:
Valores já calculados:
Escrevemos
explicitamente:
E a expressão para
pela convecção externa:
como mostrado no Passo 3.
Agora igualamos:
Esta equação foi resolvida numericamente (faço a iteração mostrando os valores intermediários para que você entenda e consiga repetir na prova):
-
Teste inicial sem isolante
( ): -
. -
. -
. -
. - Conclusão: sem isolante o circuito interno permitiria muito mais calor do que a convecção externa pode remover; portanto a superfície externa ficaria MUITO quente — precisamos de isolante (a convecção externa limita).
-
-
Testes iterativos (procura pela raiz) levando em conta o termo logarítmico para
: -
Para
(ou seja ): -
. -
. -
. -
-
- Diferença pequena; estamos perto da solução.
-
-
Refinando por pequenas variações encontramos uma solução numérica consistente (resolvendo a equação com iteração ou método da bisseção) com
-
Explicação da convergência: quando
aumenta,
cresce (diminui
) e a área externa cresce (aumenta
para dado
). Há um valor de
que equilibra as duas expressões de
; achamos esse valor por teste numérico como mostrado.
Passo 5
Resultados numéricos finais (cálculos detalhados e verificação):
- Espessura encontrada:
Como cada manta tem
, o número de mantas necessário é
(duas mantas totalizam
, muito próximo do valor calculado; a diferença de
é desprezível na prática).
- Calor perdido por hora (com
e ):
(Verificação: usando a outra expressão
com
calculado para
obtém-se o mesmo valor dentro de aproximações numéricas.)
- Valores das resistências para comparação (para
): -
. -
. -
. -
.
-
Observação didática final: a maior parte da queda de temperatura ocorre na convecção externa e no isolante; por isso o aço e a película de vapor são irrelevantes para a determinação prática da espessura quando se pede que a face externa fique a um certo valor (a convecção externa e a camada de isolamento controlam o balanço).
Passo 6
Interpretações práticas e dica para a prova (resumo rápido e como aplicar em questões parecidas):
- Se te pedirem uma temperatura limite na face externa e derem
, uma forma eficaz é usar diretamente
e igualar ao
que atravessa as resistências internas entre a fonte e essa face. Isso evita ter que fazer um estudo de curva de temperatura completo e transforma o problema numa equação para
.
- Sempre verifique as ordens de grandeza das resistências: se alguma for muito menor (p.ex.
contra ), pode ser desprezada para simplificar sem erro significativo. - Ao terminar, traduza a espessura para o número de mantas ou para mm para uso prático.
Resposta
(a) Desprezam-se a resistência da película do vapor
e a resistência por condução na chapa de aço
(são muito menores que
e
).
(b) .
(c) ; isto corresponde a 2 mantas de
.
(b)
(c)