Deseja-se isolar termicamente o casco de um condensador de vapor, de comprimento 2 m e diâmetro externo 1 m , construído com chapas de aço \left(k_{A}=15,0 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h} \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}}\right) de 3^{\prime \prime} de espessura, aplicando, por fora, isolante \left(k_{I}=0,2 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{hm}{ }^{\circ} \mathrm{C}}\right) vendido em mantas de 5 mm de espessura. A temperatura de condensação do vapor é 130^{\circ} \mathrm{C}, a temperatura do ambiente é igual a 25^{\circ} \mathrm{C}; o coeficiente de película do vapor é igual a: h_{\text {vapor }}=4000 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h} \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}}; do ar atmosférico é igual a: h_{a r}=16 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{hm}^{2} \mathrm{o}^{\circ} \mathrm{C}}. O isolamento deve ser feito de modo que a temperatura na face externa do isolante não ultrapasse 80^{\circ} \mathrm{C}. Pede-se, após o isolamento:
a) Quais parcelas de resistência térmica devem ser desprezadas?
b) A quantidade de calor perdido por hora pelo casco
c) A espessura do isolante necessária.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Geometria do casco (antes do isolamento):
    • Comprimento: L=2{,}0\\ \text{m}.
    • Diâmetro externo do casco (superfície externa do aço antes do isolante): D_{A,o}=1{,}0\\ \text{m}. Logo raio externo do aço: r_{A,o}=0{,}5\\ \text{m}.
    • Espessura da chapa de aço: t_A=3''=3\times25{,}4\\ \text{mm}=76{,}2\\ \text{mm}=0{,}0762\\ \text{m}. Assim raio interno do aço: r_{A,i}=r_{A,o}-t_A=0{,}5-0{,}0762=0{,}4238\\ \text{m}.
  • Propriedades térmicas:
    • Condutividade térmica do aço: k_A=15{,}0\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\,\text{m}\,^\circ\text{C}}.
    • Condutividade térmica do isolante: k_I=0{,}2\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\,\text{m}\,^\circ\text{C}}.
    • Espessura das mantas: t_{\text{manta}}=5\\ \text{mm}=0{,}005\\ \text{m} (cada manta).
  • Condições térmicas / convecção:
    • Temperatura de condensação (fluido interno): T_{\text{vapor}}=130^\circ\text{C}.
    • Temperatura ambiente: T_{\infty}=25^\circ\text{C}.
    • Coeficiente convectivo do vapor (lado interno): h_{\text{vapor}}=4000\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\,\text{m}^2\,^\circ\text{C}}.
    • Coeficiente convectivo do ar (lado externo): h_{\text{ar}}=16\\ \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\,\text{m}^2\,^\circ\text{C}}.
  • Condição imposta pelo enunciado:
    • A temperatura na face externa do isolante não deve ultrapassar 80^\circ\text{C}. Ou seja, queremos projetar o isolante tal que T_{\text{surf,ext}} \le 80^\circ\text{C}. No cálculo tomaremos T_{\text{surf,ext}}=80^\circ\text{C} como valor limite de projeto.
  • O enunciado pede:
    (a) Quais parcelas de resistência térmica devem ser desprezadas?
    (b) A quantidade de calor perdido por hora pelo casco após o isolamento (isto é, com a espessura de isolante que garante T_{\text{surf,ext}}=80^\circ\text{C}).
    (c) A espessura do isolante necessária (em metros/mm e quantas mantas de 5 mm).

Passo 2

Vamos lembrar e explicar as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
  1. Resistência por convecção (superfície plana ou curva): a queda de temperatura por convecção numa superfície de área A é \Delta T=q\,R_{\text{conv}} com
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,A},
onde h é o coeficiente convectivo (unidade \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\,\text{m}^2\,^\circ\text{C}}) e A a área de troca (m ^2). Intuição: quanto maior h ou A, menor a resistência e maior o calor transferido.
  1. Resistência por condução em uma parede cilíndrica (entre raios r_1 e r_2 e comprimento L):
R_{\text{cond,cil}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k L},
onde k é a condutividade (unidade \dfrac{\text{kcal}}{\text{h}\,\text{m}\,^\circ\text{C}}). Intuição: para cilindro a área varia com raio, daí aparecer o logaritmo.
  1. Área lateral de cilindro (para comprimento L e raio r):
A_{\text{lat}}=2\pi r L.
A configuração térmica do problema (do interior para o exterior) é, em série:
  • resistência convectiva do vapor R_{\text{vapor}}=\dfrac{1}{h_{\text{vapor}} A_{\text{int}}}, com A_{\text{int}}=2\pi r_{A,i} L;
  • resistência por condução através do aço R_{A}=\dfrac{\ln(r_{A,o}/r_{A,i})}{2\pi k_A L};
  • resistência por condução através do isolante R_{I}=\dfrac{\ln(r_{\text{out}}/r_{A,o})}{2\pi k_I L}, onde r_{\text{out}}=r_{A,o}+t_I é o raio externo depois do isolante;
  • resistência convectiva externa R_{\text{ar}}=\dfrac{1}{h_{\text{ar}} A_{\text{out}}}, com A_{\text{out}}=2\pi r_{\text{out}} L.
O fluxo térmico em regime estacionário Q (kcal/h) satisfaz:
Q=\frac{T_{\text{vapor}}-T_{\infty}}{R_{\text{vapor}}+R_A+R_I+R_{\text{ar}}}.
No entanto, como temos a restrição T_{\text{surf,ext}}=80^\circ\text{C} (temperatura na face externa do isolante), uma forma prática é usar o fato de que o calor que sai pela convecção externa é
Q = h_{\text{ar}} A_{\text{out}} \left(T_{\text{surf,ext}}-T_{\infty}\right).
Esse Q deve ser o mesmo que atravessa as resistências internas, então impondo
\frac{T_{\text{vapor}}-T_{\text{surf,ext}}}{R_{\text{vapor}}+R_A+R_I} \;=\; h_{\text{ar}} A_{\text{out}} \left(T_{\text{surf,ext}}-T_{\infty}\right).
Nesta equação a incógnita é t_I (aparece em r_{\text{out}} dentro de R_I e em A_{\text{out}}). Vamos usá‑la para achar t_I.

Passo 3

Calcular áreas, resistências fixas e ver ordens de grandeza para decidir quais parcelas podem ser desprezadas (aqui eu mostro os cálculos num passo e já explico por que algumas resistências são pequenas).
Primeiro as áreas e resistências que não dependem do isolante:
  • Área interna do aço (área de troca com o vapor):
A_{\text{int}}=2\pi r_{A,i} L=2\pi(0{,}4238)(2)=4\pi(0{,}4238)=1{,}6952\pi\\ \text{m}^2\approx 5{,}3259\\ \text{m}^2.
  • Resistência convectiva do vapor:
R_{\text{vapor}}=\frac{1}{h_{\text{vapor}}A_{\text{int}}}=\frac{1}{4000\cdot 5{,}3259}\approx 4{,}695\times 10^{-5}\\ \text{h}\,^\circ\text{C}/\text{kcal}.
Comentário: extremante pequena (praticamente desprezível).
  • Resistência por condução no aço:
R_A=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{A,o}}{r_{A,i}}\right)}{2\pi k_A L} =\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}5}{0{,}4238}\right)}{2\pi\cdot 15\cdot 2}.
Calculemos os números:
\ln\!\left(\dfrac{0{,}5}{0{,}4238}\right)=\ln(1{,}1800)\approx 0{,}16552,
2\pi k_A L = 2\pi\cdot 15\cdot 2 = 60\pi\approx 188{,}496.
Logo
R_A\approx \frac{0{,}16552}{188{,}496}\approx 8{,}78\times 10^{-4}\\ \text{h}\,^\circ\text{C}/\text{kcal}.
Comentário: maior que R_{\text{vapor}} mas ainda pequena frente a resistências de isolante e convecção externa (ver abaixo).
Agora vamos avaliar as resistências que dependem do isolante e da área externa para um palpite inicial de espessura — como precisamos que T_{\text{surf,ext}}=80^\circ\text{C}, é útil calcular Q a partir da convecção externa em função de r_{\text{out}}:
Q = h_{\text{ar}} A_{\text{out}} (T_{\text{surf,ext}}-T_{\infty}) =16\cdot(2\pi r_{\text{out}} L)\cdot(80-25).
Com 80-25=55^\circ\text{C} e 2\pi L=2\pi\cdot 2=4\pi,
Q = 16\cdot 55\cdot 4\pi \, r_{\text{out}} = 11059{,}0\\ r_{\text{out}}\\ \\ (\text{kcal/h}),\quad r_{\text{out}}\\ \text{em m}.
Agora vejamos ordens de grandeza: queremos comparar R_{\text{vapor}} e R_A com a resistência do isolante e com a resistência convectiva externa R_{\text{ar}}=1/(h_{\text{ar}} A_{\text{out}}).
Tomando a espessura estimada pequena de isolante t_I\approx 0{,}01\\ \text{m} (palpite), temos r_{\text{out}}\approx 0{,}51\\ \text{m} e
A_{\text{out}}=2\pi r_{\text{out}} L\approx 2\pi (0{,}51)(2)\approx 6{,}41\\ \text{m}^2,
R_{\text{ar}}=\frac{1}{h_{\text{ar}}A_{\text{out}}}\approx\frac{1}{16\cdot 6{,}41}\approx 0{,}00975\\ \text{h}\,^\circ\text{C}/\text{kcal}.
Comparando:
  • R_{\text{vapor}}\approx 4{,}7\times 10^{-5} (muito pequeno),
  • R_A\approx 8{,}78\times 10^{-4} (ainda muito menor que R_{\text{ar}}),
  • R_{\text{ar}}\approx 9{,}75\times 10^{-3},
  • A resistência do isolante esperada (com t_I pequeno) será da ordem de 10^{-3} a 10^{-2} (ver cálculo adiante).
Conclusão (prévia e justificada numericamente): R_{\text{vapor}} e R_A são muito menores que as resistências do isolante e da convecção externa e portanto podem ser desprezadas para propósitos práticos de dimensionamento (será respondido formalmente no item (a)). Mas faremos os cálculos retendo-os para mostrar a comparação numérica.

Passo 4

Montagem da equação para determinar a espessura do isolante t_I (passo a passo didático).
Queremos T_{\text{surf,ext}}=80^\circ\text{C}. O calor que sai pela convecção externa é
Q = h_{\text{ar}} A_{\text{out}} \left(T_{\text{surf,ext}}-T_{\infty}\right)
com A_{\text{out}}=2\pi r_{\text{out}} L e r_{\text{out}}=r_{A,o}+t_I.
Esse mesmo Q atravessa as resistências internas entre T_{\text{vapor}} e T_{\text{surf,ext}}:
Q=\frac{T_{\text{vapor}}-T_{\text{surf,ext}}}{R_{\text{vapor}}+R_A+R_I}.
Igualando as duas expressões obtemos a equação que determina t_I:
\frac{T_{\text{vapor}}-T_{\text{surf,ext}}}{R_{\text{vapor}}+R_A+R_I} \;=\; h_{\text{ar}} (2\pi r_{\text{out}} L) (T_{\text{surf,ext}}-T_{\infty}).
Substituamos valores numéricos conhecidos e simplifiquemos para resolver numericamente por iteração (a equação é transcendental porque R_I contém \ln(r_{\text{out}}/r_{A,o}) e também r_{\text{out}} aparece na área externa).
Dados usados:
T_{\text{vapor}}-T_{\text{surf,ext}}=130-80=50^\circ\text{C}, \qquad T_{\text{surf,ext}}-T_{\infty}=80-25=55^\circ\text{C}.
Valores já calculados:
R_{\text{vapor}}\approx 4{,}695\times 10^{-5},\qquad R_A\approx 8{,}78\times 10^{-4}.
Escrevemos R_I explicitamente:
R_I=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{\text{out}}}{r_{A,o}}\right)}{2\pi k_I L} =\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{A,o}+t_I}{r_{A,o}}\right)}{2\pi k_I L}.
E a expressão para Q pela convecção externa:
Q = h_{\text{ar}}(2\pi r_{\text{out}} L)\cdot 55 = 11059{,}0\\ r_{\text{out}}\\ \text{(kcal/h)},
como mostrado no Passo 3.
Agora igualamos:
\frac{50}{R_{\text{vapor}}+R_A+ \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r_{\text{out}}}{r_{A,o}}\right)}{2\pi k_I L} } \;=\; 11059{,}0\\ r_{\text{out}}.
Esta equação foi resolvida numericamente (faço a iteração mostrando os valores intermediários para que você entenda e consiga repetir na prova):
  • Teste inicial sem isolante t_I=0 ( r_{\text{out}}=0{,}5\\ \text{m}):
    • R_I=0.
    • R_{\text{total}}=R_{\text{vapor}}+R_A\approx 0{,}0009240.
    • Q_{\text{pelas resistências}}=\dfrac{50}{0{,}0009240}\approx 54{,}068\\ \text{kcal/h}ê.
    • Q_{\text{pela convecção externa}}=11059\cdot 0{,}5\approx 5{,}530\\ \text{kcal/h}çã.
    • Conclusão: sem isolante o circuito interno permitiria muito mais calor do que a convecção externa pode remover; portanto a superfície externa ficaria MUITO quente — precisamos de isolante (a convecção externa limita).
  • Testes iterativos (procura pela raiz) levando em conta o termo logarítmico para R_I:
    • Para r_{\text{out}}=0{,}51\\ \text{m} (ou seja t_I=0{,}01\\ \text{m}):
      • \ln\!\dfrac{0{,}51}{0{,}5}\approx 0{,}01980.
      • R_I=\dfrac{0{,}01980}{2\pi\cdot 0{,}2\cdot 2}\approx 0{,}00788.
      • R_{\text{total}}\approx 0{,}0009240+0{,}00788\approx 0{,}008804.
      • Q_{\text{resist}}=\dfrac{50}{0{,}008804}\approx 5{,}680\\ \text{kcal/h}.
      • Q_{\text{conv}}=11059\cdot 0{,}51\approx 5{,}639\\ \text{kcal/h}.
      • Diferença pequena; estamos perto da solução.
    • Refinando por pequenas variações encontramos uma solução numérica consistente (resolvendo a equação com iteração ou método da bisseção) com
      r_{\text{out}}\approx 0{,}51008\\ \text{m}, \qquad t_I=r_{\text{out}}-r_{A,o}\approx 0{,}51008-0{,}5=0{,}01008\\ \text{m}.
Explicação da convergência: quando t_I aumenta, R_I cresce (diminui Q_{\text{resist}}) e a área externa cresce (aumenta Q_{\text{conv}} para dado T_{\text{surf,ext}}). Há um valor de t_I que equilibra as duas expressões de Q; achamos esse valor por teste numérico como mostrado.

Passo 5

Resultados numéricos finais (cálculos detalhados e verificação):
  • Espessura encontrada:
t_I\approx 0{,}01008\\ \text{m}=10{,}08\\ \text{mm}.
Como cada manta tem 5\\ \text{mm}, o número de mantas necessário é
\text{nº de mantas}=\frac{10{,}08\\ \text{mm}}{5\\ \text{mm}} \approx 2{,}02 \Rightarrow \text{usar }2\\ \text{mantas de }5\\ \text{mm}º
(duas mantas totalizam 10{,}0\\ \text{mm}, muito próximo do valor calculado; a diferença de 0{,}08\\ \text{mm} é desprezível na prática).
  • Calor perdido por hora (com T_{\text{surf,ext}}=80^\circ\text{C} e r_{\text{out}}=0{,}51008\\ \text{m}):
Q = h_{\text{ar}} A_{\text{out}} (80-25) =16\cdot (2\pi\cdot 0{,}51008\cdot 2)\cdot 55 \approx 5{,}640\\ \text{kcal/h}.
(Verificação: usando a outra expressão Q=(130-80)/(R_{\text{vapor}}+R_A+R_I) com R_I calculado para t_I obtém-se o mesmo valor dentro de aproximações numéricas.)
  • Valores das resistências para comparação (para t_I\approx 0{,}01008\\ \text{m}):
    • R_{\text{vapor}}\approx 4{,}7\times 10^{-5}\\ \text{h}\,^\circ\text{C}/\text{kcal}.
    • R_A\approx 8{,}78\times 10^{-4}\\ \text{h}\,^\circ\text{C}/\text{kcal}.
    • R_I\approx 7{,}94\times 10^{-3}\\ \text{h}\,^\circ\text{C}/\text{kcal}.
    • R_{\text{ar}}\approx 9{,}75\times 10^{-3}\\ \text{h}\,^\circ\text{C}/\text{kcal}.
Observação didática final: a maior parte da queda de temperatura ocorre na convecção externa e no isolante; por isso o aço e a película de vapor são irrelevantes para a determinação prática da espessura quando se pede que a face externa fique a um certo valor (a convecção externa e a camada de isolamento controlam o balanço).

Passo 6

Interpretações práticas e dica para a prova (resumo rápido e como aplicar em questões parecidas):
  • Se te pedirem uma temperatura limite na face externa e derem h_{\text{ar}}, uma forma eficaz é usar diretamente
Q = h_{\text{ar}} A_{\text{out}} (T_{\text{surf}}-T_{\infty})
e igualar ao Q que atravessa as resistências internas entre a fonte e essa face. Isso evita ter que fazer um estudo de curva de temperatura completo e transforma o problema numa equação para t_I.
  • Sempre verifique as ordens de grandeza das resistências: se alguma for muito menor (p.ex. 10^{-5} contra 10^{-3}), pode ser desprezada para simplificar sem erro significativo.
  • Ao terminar, traduza a espessura para o número de mantas ou para mm para uso prático.

Resposta

(a) Desprezam-se a resistência da película do vapor \;R_{\text{vapor}} e a resistência por condução na chapa de aço \;R_A (são muito menores que R_I e R_{\text{ar}}).
(b) Q \approx 5{,}640\\ \text{kcal/h}.
(c) t_I \approx 0{,}01008\\ \text{m}\approx 10{,}08\\ \text{mm}; isto corresponde a 2 mantas de 5\\ \text{mm}.

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