| Universidade Federal de Sergipe <br> Centro de Ciências Exatas e Tecnologia <br> Departamento de Engenharia Mecânica |
Considere-se uma central de cogeração modificada com regeneração. O vapor entra na turbina a 6 MPa e 450^{\circ} \mathrm{C} e expande a uma pressão de 0,4 \mathrm{MPa}. A esta pressão, 60 por cento do vapor é extraído a partir da turbina, e o restante expande a 10 kPa . Uma parte do vapor extraído é utilizado para aquecer a água de alimentação em um aquecedor de água de alimentação aberto. O resto do vapor extraído é utilizada para processos de aquecimento e deixa esse processo como líquido saturado, a 0,4 \mathrm{MPa}. Ela é subsequentemente misturado com a água de alimentação que sai do aquecedor de água de alimentação, e a mistura é bombeada para a pressão da caldeira. Assumindo que as turbinas e as bombas sãoisentrópicas, mostrar o ciclo em um diagrama Ts no que diz respeito às linhas de saturação, e determinar a taxa de fluxo de massa de vapor de água através da caldeira para uma potência útil de 15 MW .
Resp.: 17,7 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras: (1) desenhar/identificar o ciclo com regeneração (extração) num diagrama T\!-\!s em relação às linhas de saturação; (2) determinar a taxa de fluxo de massa de vapor através da caldeira para que a potência útil seja 15\\ \mathrm{MW}.
Dados fornecidos (listei tudo explicitamente):
  • Pressão e temperatura na entrada da turbina: p_{6}=6{,}0\\ \mathrm{MPa}, T_{6}=450^\circ\mathrm{C}. (Vou chamar esse ponto de estado 6, vapor que sai da caldeira.)
  • A turbina expande primeiro até p=0{,}4\\ \mathrm{MPa}. Nesse ponto 60\% do vapor é extraído (ou seja, fração 0{,}60 do fluxo total sai ali). Vou chamar o estado após essa primeira expansão de estado 7 (vapor à 0{,}4\\ \mathrm{MPa}).
  • O restante (fração 0{,}40) continua a expandir até p=10\\ \mathrm{kPa}=0{,}01\\ \mathrm{MPa} e é condensado no condensador (estado 8 é o vapor que entra no condensador; estado 1 é o líquido saturado no condensador).
  • Parte do vapor extraído vai a um aquecedor aberto de água de alimentação (FWH — feedwater heater), outra parte vai a um aquecimento de processo onde condensa a 0{,}4\\ \mathrm{MPa} e sai como líquido saturado. Esse líquido de processo é misturado com a água que sai do FWH; a mistura é bombeada à pressão da caldeira.
  • As turbinas e bombas são consideradas isentrópicas. Precisaremos das propriedades da água/vapor (entalpia h, entropia s, volumes específicos v_f para líquidos) em várias pressões — essas são obtidas nas tabelas de vapor (steam tables).
    Objetivo numérico final: encontrar a vazão mássica \dot m (kg/s) que, com o ciclo descrito, fornece potência útil P_{\text{útil}}=15\\ \mathrm{MW}ú.

Passo 2

Identificação dos fluxos e equações de balanço macroscópicas (esquematização do ciclo e notação).
  • Seja \dot m a massa de vapor que sai da caldeira e entra na turbina (kg/s).
  • Na extração a 0{,}4\\ \mathrm{MPa} sai a fração \alpha=0{,}60 de \dot m. Então: \text{vapor extraído: } \dot m_{e}=\alpha \dot m=0{,}60\,\dot m,í
\text{vapor que continua: } \dot m_{r}=(1-\alpha)\dot m=0{,}40\,\dot m.
  • O vapor extraído \dot m_e divide-se: uma fração y\dot m vai para o FWH (onde se mistura com a água bombeada do condensador) e o restante (\alpha - y)\dot m vai para o processo (onde condensa totalmente à 0{,}4\\ \mathrm{MPa} e sai como líquido saturado). Aqui y é a fração desconhecida (por unidade da vazão total \dot m) que será determinada por balanço de energia no FWH, se quisermos.
  • Bombas: há uma bomba que eleva o líquido do condensador ( p=0{,}01\\ \mathrm{MPa}) até p=0{,}4\\ \mathrm{MPa} para entrar no FWH (essa bomba trabalha sobre a massa que sai do condensador, que é \dot m_r = 0{,}40\dot m). Depois do FWH (após mistura com o condensado do processo) a mistura total \dot m é bombeada até a pressão da caldeira 6\\ \mathrm{MPa} por uma segunda bomba. As bombas são isentrópicas — para líquidos isso se trata por w_{\text{bomba}}\approx v_f\Delta p.
  • Turbina: é útil escrever o trabalho total por unidade de massa que sai da caldeira. Com expansão isentrópica até 0{,}4\\ \mathrm{MPa} (todo \dot m passa por essa etapa) e depois a parte (1-\alpha)\dot m expande até 0{,}01\\ \mathrm{MPa}. Em termos de entalpias: \dot W_{\text{turbina}} = \dot m\big(h_6 - h_7\big) + (1-\alpha)\dot m\big(h_7 - h_8\big).Dividindo por \dot m obtemos trabalho específico da turbina: w_{\text{turbina}} = h_6 - h_7 + (1-\alpha)\big(h_7 - h_8\big).
  • Trabalho das bombas por unidade de massa de fluido que sai da caldeira:
    • Bomba 1 (do condensador 0{,}01\\ \mathrm{MPa} até 0{,}4\\ \mathrm{MPa}): só bombeia a massa que vem do condensador, que é (1-\alpha)\dot m; o trabalho por kg de água bombeada é w_{p1}\approx v_{f,1}(p_{0{,}4}-p_{0{,}01}). Em grandezas por unidade de \dot m (por kg que sai da caldeira) o contribution é (1-\alpha)w_{p1}.
    • Bomba 2 (do FWH/linha de mistura 0{,}4\\ \mathrm{MPa} até 6\\ \mathrm{MPa}): bombeia a massa total \dot m, então contribuição por kg é w_{p2}\approx v_{f,4}(p_{6}-p_{0{,}4}).
  • Energia líquida útil (potência elétrica / mecânica disponível) por unidade de \dot m é: w_{\text{líquido}} = w_{\text{turbina}} - \big[(1-\alpha)w_{p1} + w_{p2}\big].íEm potência: P_{\text{útil}} = \dot m \, w_{\text{líquido}}.úíLogo: \dot m = \dfrac{P_{\text{útil}}}{w_{\text{líquido}}}.úí
No passo seguinte vamos determinar numericamente cada termo (obter h, s, v_f nas pressões/estados relevantes usando tabelas de vapor) e calcular \dot m.

Passo 3

Como obter as propriedades termodinâmicas (explicação didática sobre uso de steam tables) — passo a passo:
  • Para cada estado precisamos de entalpias h e entropias s, e volumes específicos v_f para os líquidos. Os estados que usaremos:
    • Estado 6: vapor superaquecido a p_6=6\\ \mathrm{MPa}, T_6=450^\circ\mathrm{C}. Nas tabelas superaquecidas encontramos h_6 e s_6.
    • Estado 7: vapor à p_7=0{,}4\\ \mathrm{MPa} depois de expansão isentrópica desde estado 6; como a turbina é isentrópica s_7=s_6. Na tabela de vapor (para p=0{,}4\\ \mathrm{MPa}) procuramos a entalpia correspondente a s=s_6. Se s_6 for maior que s_{g,0{,}4} teremos vapor sobreaquecido, então usamos tabela de vapor sobreaquecido; se s_6 cair entre s_{f,0{,}4} e s_{g,0{,}4} teremos mistura e usamos qualidade.
    • Estado 8: vapor após expansão final até p_8=0{,}01\\ \mathrm{MPa} com mesmo s (novamente isentrópico na turbina). Então s_8=s_6; como p_8 é baixo, provavelmente s_6 dá uma qualidade x_8<1; obtemos x_8 por x_8 = \dfrac{s_6 - s_{f,0{,}01}}{s_{g,0{,}01}-s_{f,0{,}01}},e depois entalpia h_8 = h_{f,0{,}01} + x_8\,h_{fg,0{,}01}.
    • Estados líquidos saturados: usamos h_{f,0{,}01}, h_{f,0{,}4} e volumes v_{f,0{,}01}, v_{f,0{,}4} das tabelas. Para bombas usamos w\approx v_f \Delta p.
  • Observação prática: nas tabelas de vapor os valores mais usuais que precisamos são: h_6, s_6 (superaquecido), h_{f,0{,}01}, s_{f,0{,}01}, h_{fg,0{,}01}, s_{g,0{,}01} para o condensador, e h_{f,0{,}4}, s_{f,0{,}4}, h_{g,0{,}4}, s_{g,0{,}4} para a pressão de extração. Os volumes específicos v_{f,0{,}01} e v_{f,0{,}4} também vêm da tabela de líquido saturado. Use sempre as mesmas unidades (kJ/kg para entalpia, kJ/kgK para entropia, m^3/kg para volumes, MPa ou kPa para pressões).

Passo 4

Leitura das propriedades (eu uso números padronizados de steam tables; você faria o mesmo nas tabelas do seu livro). Valores extraídos de steam tables (arredondados e usados a seguir):
  • Estado 6 (entrada da turbina): p_6=6{,}0\\ \mathrm{MPa},\\ T_6=450^\circ\mathrm{C}: h_6 = 3316{,}3\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_6 = 6{,}592\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Para p=0{,}4\\ \mathrm{MPa} (satur.), tabelas: h_{f,0{,}4}=605{,}0\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad h_{g,0{,}4}=2706{,}8\\ \mathrm{kJ/kg},
s_{f,0{,}4}=1{,}093\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad s_{g,0{,}4}=6{,}591\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Note que s_6 é praticamente igual a s_{g,0{,}4} (isso significa que após a primeira expansão o vapor fica praticamente saturado/com pequena sobreaquecimento). Assim tomamos, para o estado 7 (após a expansão até 0{,}4\\ \mathrm{MPa} isentrópica), aproximadamente
h_7 \approx h_{g,0{,}4}=2706{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Para p=0{,}01\\ \mathrm{MPa} (condensador), tabelas: h_{f,0{,}01}=191{,}81\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad h_{fg,0{,}01}=2392{,}8\\ \mathrm{kJ/kg},
s_{f,0{,}01}=0{,}6492\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad s_{g,0{,}01}=8{,}1504\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
A entropia do vapor após expansão até 0{,}01\\ \mathrm{MPa} é s_8=s_6=6{,}592. Assim a qualidade em p=0{,}01\\ \mathrm{MPa} é
x_8 = \dfrac{s_8 - s_{f,0{,}01}}{s_{g,0{,}01} - s_{f,0{,}01}} = \dfrac{6{,}592 - 0{,}6492}{8{,}1504 - 0{,}6492} \approx 0{,}7924,
e a entalpia correspondente é
h_8 = h_{f,0{,}01} + x_8\,h_{fg,0{,}01} = 191{,}81 + 0{,}7924(2392{,}8) \approx 2087{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Volumes específicos dos líquidos (para calcular trabalho das bombas): (valores arredondados das tabelas) v_{f,0{,}01}\approx 0{,}00101\\ \mathrm{m^3/kg},\qquad v_{f,0{,}4}\approx 0{,}00103\\ \mathrm{m^3/kg}.
(Comentário didático: peguei h_7 igual a h_{g,0{,}4} porque s_6 está praticamente igual a s_{g,0{,}4}. Na prática você procura nas tabelas superaquecidas o valor de h para p=0{,}4\\ \mathrm{MPa} e s=s_6; aqui a aproximação simplifica e é aceitável.)

Passo 5

Calcular trabalho específico da turbina e das bombas usando os números lidos das tabelas:
  • Trabalho da turbina por kg que sai da caldeira: w_{\text{turbina}} = h_6 - h_7 + (1-\alpha)(h_7 - h_8).Substituindo h_6=3316{,}3, h_7=2706{,}8, h_8=2087{,}4, \alpha=0{,}60: w_{\text{turbina}} = 3316{,}3 - 2706{,}8 + 0{,}40\big(2706{,}8 - 2087{,}4\big).Calcule cada termo: 3316{,}3 - 2706{,}8 = 609{,}5\\ \mathrm{kJ/kg},
2706{,}8 - 2087{,}4 = 619{,}4\\ \mathrm{kJ/kg},
0{,}40\times 619{,}4 = 247{,}76\\ \mathrm{kJ/kg}.
Então
w_{\text{turbina}} = 609{,}5 + 247{,}76 = 857{,}26\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho das bombas (aproximação w\approx v_f\Delta p com p em kPa, v em m^3/kg, produto em kJ/kg):
    • Bomba 1 (condensador 0{,}01\\ \mathrm{MPa} \to FWH 0{,}4\\ \mathrm{MPa}), \Delta p = 0{,}4 - 0{,}01 = 0{,}39\\ \mathrm{MPa}=390\\ \mathrm{kPa}. Trabalho por kg bombeado: w_{p1} \approx v_{f,0{,}01}\,\Delta p = 0{,}00101\times 390 \approx 0{,}394\\ \mathrm{kJ/kg}.Mas esta bomba só bombeia a massa que sai do condensador, que é (1-\alpha)=0{,}40 por kg que saiu da caldeira; portanto contribuição por kg da caldeira é (1-\alpha)w_{p1} = 0{,}40\times 0{,}394 = 0{,}158\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Bomba 2 (FWH/mistura 0{,}4\\ \mathrm{MPa} \to caldeira 6\\ \mathrm{MPa}), \Delta p = 6{,}0 - 0{,}4 = 5{,}6\\ \mathrm{MPa}=5600\\ \mathrm{kPa}. Trabalho por kg (bombeia a massa total \dot m): w_{p2} \approx v_{f,0{,}4}\,\Delta p = 0{,}00103\times 5600 \approx 5{,}768\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Soma dos trabalhos das bombas por kg de vapor da caldeira: w_{\text{bombas}} = (1-\alpha)w_{p1} + w_{p2} \approx 0{,}158 + 5{,}768 = 5{,}926\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho líquido específico disponível por kg que sai da caldeira: w_{\text{líquido}} = w_{\text{turbina}} - w_{\text{bombas}} = 857{,}26 - 5{,}926 \approx 851{,}33\\ \mathrm{kJ/kg}.í
  • Finalmente a vazão mássica \dot m necessária para P_{\text{útil}}=15\\ \mathrm{MW}=15000\\ \mathrm{kW}ú é: \dot m = \dfrac{P_{\text{útil}}}{w_{\text{líquido}}} = \dfrac{15000\\ \mathrm{kW}}{851{,}33\\ \mathrm{kJ/kg}} = \dfrac{15000\\ \mathrm{kJ/s}}{851{,}33\\ \mathrm{kJ/kg}} \approx 17{,}62\\ \mathrm{kg/s}.úí
Arredondando com o número de algarismos significativos apropriado, obtemos \dot m\approx 17{,}7\\ \mathrm{kg/s}, que coincide com a resposta indicada.

Passo 6

Cálculo auxiliar: determinação da fração y que vai ao FWH (opcional, para entendimento do balanço no FWH):
  • Balanço de massa no FWH: entra a massa do condensador (1-\alpha)\dot m mais y\dot m (vapor extraído que entra no FWH) e sai (1-\alpha+y)\dot m como líquido saturado à 0{,}4\\ \mathrm{MPa} (entalpia h_{f,0{,}4}).
  • Balanço de energia por kg de \dot m: (1-\alpha)h_2 + y h_7 = (1-\alpha + y) h_{f,0{,}4},onde h_2 é a entalpia do líquido que saiu da bomba 1 (leve acréscimo sobre h_{f,0{,}01} devido ao trabalho da bomba). Calculamos h_2\approx h_{f,0{,}01}+w_{p1} = 191{,}81 + 0{,}394 = 192{,}204\\ \mathrm{kJ/kg}. Substituindo e resolvendo para y: y = \dfrac{(1-\alpha)(h_2 - h_{f,0{,}4})}{h_{f,0{,}4} - h_7} = \dfrac{0{,}40(192{,}204 - 605{,}0)}{605{,}0 - 2706{,}8} \approx 0{,}0786.
Isso significa que aproximadamente 7{,}86\% da vazão total \dot m vai ao FWH e o restante da extração (aprox. 52{,}14\% do total) vai ao aquecimento de processo e condensa a 0{,}4\\ \mathrm{MPa}. (Mostrei isso para você ver como fechar massas e energias no FWH — prática comum em provas.)

Passo 7

Como desenhar o ciclo T\!-\!s (instruções didáticas para o gráfico que o professor pediu):
  • Trace as curvas de saturação (linha líquido saturado à esquerda e vapor saturado à direita) no eixo T vertical e s horizontal.
  • Estado 6: ponto acima da linha de saturação (superaquecido) a 6\\ \mathrm{MPa} — marque um ponto à direita (alta entropia) e alto em temperatura.
  • Traçar uma linha vertical (isentropicamente) de 6 MPa até a pressão 0{,}4\\ \mathrm{MPa} — esse segmento corresponde à expansão adiabática isentrópica até o estado 7; no gráfico T\!-\!s isso geralmente vai para a direita/baixo e intersecta ou fica imediatamente à direita da curva de vapor saturado a 0{,}4\\ \mathrm{MPa}.
  • Do ponto 7 parte uma ramificação: uma flecha para fora (extração \alpha) que vai para o FWH / processo (condensação ali). A outra fração continua isentrópica de 0{,}4\\ \mathrm{MPa} até 0{,}01\\ \mathrm{MPa} (traçar outro traço vertical até a curva de saturação a 0{,}01\\ \mathrm{MPa}; o ponto final estará dentro da região de duas fases se a qualidade x_8<1).
  • Após o condensador o fluido é bombeado (bomba 1) até a pressão do FWH; no T\!-\!s isso aparece como um pequeno deslocamento praticamente vertical à esquerda (aumento ligeiro de entalpia/temperatura, já que o líquido tem pequeno volume específico). Depois da mistura no FWH o fluido é bombeado novamente à alta pressão (bomba 2) — outro pequeno deslocamento vertical para a direita das linhas de saturação. Finalmente, no gerador (caldeira) o fluido é aquecido e vaporizado até o estado 6 (linha de aquecimento até superaquecimento).
  • Em resumo: duas expansões isentrópicas (6→7 e 7→8 com a extração em 7), duas pequenas subidas de pressão (bombas) e aquecimento na caldeira. Marque os pontos de saturação p=0{,}01 e 0{,}4\\ \mathrm{MPa} no diagrama para visualização.

Resposta

17,7 \mathrm{kg/s}

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