U. Universidade Federal de Sergipe
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Departamento de Engenharia Mecânica
A turbina a gás de uma usina combinada gás-vapor tem uma razão de pressão igual a 16 . Ar entra no compressor a 300 K , a uma taxa de 14 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e é aquecido a 1500 K na câmara de combustão. Os gases de combustão que saem da turbina de gás são usados para aquecer o vapor até 400^{\circ} \mathrm{C} a 10 MPa em um trocador de calor. Os gases de combustão deixam o trocador de calor a 420 K . O vapor que deixa a turbina é condensado a 15 kPa . Assumindo que todos os processos de compressão e de expansão são isentrópicos, determinar (a) a vazão mássica do vapor, (b) a potência útil, e (c) o fluxo eficiência térmica de ciclo combinado.Para o ar, suponha calor específico constante, à temperatura ambiente.
Resp.: (a) 1,275 kg / s, (b), 7819 kW , (c), 66,4 %

Passo 1

O enunciado descreve uma usina combinada (ciclo Brayton a gás acoplado a um ciclo Rankine a vapor) com os seguintes dados e pedidos. Vou listar com cuidado o que foi dado e o que se pede:
  • Dados do ciclo a gás (Brayton, com ar tratado como gás perfeito com calor específico constante à temperatura ambiente):
    • Razão de pressão do compressor: \Pi_c = 16.
    • Temperatura de entrada no compressor: \;T_1 = 300\\ \mathrm{K}.
    • Vazão mássica de ar que entra no compressor: \;\dot{m}_{\mathrm{ar}} = 14\\ \mathrm{kg/s}.
    • Temperatura do fluido (gases) após a câmara de combustão (entrada da turbina a gás): \;T_3 = 1500\\ \mathrm{K}.
    • Todos os processos de compressão e expansão (compressor e turbina a gás) são isentrópicos.
    • Para o ar: calor específico constante (à temperatura ambiente). Vou usar \;c_p = 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e \gamma = 1{,}4 (valores padrão à temperatura ambiente).
  • Dados do trocador / recuperação (HRSG) e do ciclo a vapor:
    • Os gases de combustão que saem da turbina a gás são usados para aquecer a água/vapor até \;400^\circ\mathrm{C} a \;10\\ \mathrm{MPa} (ou seja, vapor saturado superaquecido à saída do aquecedor com estas condições).
    • Os gases de combustão deixam o trocador de calor a \;420\\ \mathrm{K}.
    • O vapor que sai da turbina a vapor é condensado a \;15\\ \mathrm{kPa}.
    • Supomos que a água de alimentação é condensado (saturado líquido) na pressão de \;15\\ \mathrm{kPa} e é bombeada isentrópicamente até \;10\\ \mathrm{MPa} (trabalho de bomba será calculado como v\Delta p, líquido praticamente incompressível).
    • Usarei valores de propriedades da água/vapor a partir de tabelas (valores aproximados consistentes com tabelas usuais):
      • Para \;P_{\mathrm{out}}=10\\ \mathrm{MPa} e \;T=400^\circ\mathrm{C}: entalpia do vapor superaquecido \;h_{g,\,10\mathrm{MPa},\,400^\circ\mathrm{C}} \approx 3213{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}.
      • Para \;P_{\mathrm{cond}}=15\\ \mathrm{kPa}: propriedades saturadas aproximadas por interpolação entre 10 e 20 kPa: \;h_f(15\\ \mathrm{kPa})\approx 221{,}6\\ \mathrm{kJ/kg},\quad h_g(15\\ \mathrm{kPa})\approx 2582{,}3\\ \mathrm{kJ/kg},\quad s_f(15\\ \mathrm{kPa})\approx 0{,}75\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
      • Volume específico do líquido de alimentação (aprox. líquido a baixa pressão): \;v_f \approx 0{,}00101\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • O que se pede:
    (a) A vazão mássica do vapor \;\dot{m}_{\mathrm{vapor}} produzida pelo recuperador (HRSG).
    (b) A potência útil total do ciclo combinado (potência líquida elétrica disponível) em kW.
    (c) A eficiência térmica do ciclo combinado (razão potência útil / calor de combustível adicionado).
Observação importante: na solução que vem a seguir eu vou aplicar fórmulas de termodinâmica elementar (processo isentrópico para gás perfeito, balanços de energia, uso de tabelas para vapor) e vou explicar cada fórmula e cada passo de modo que você consiga replicar na prova. Não estou pedindo nenhuma informação extra; usei as constantes e propriedades usuais e explicitei os valores usados.

Passo 2

Primeiro: calculamos os estados do ciclo a gás (compressor e turbina), usando o modelo de gás perfeito com calor específico constante e processos isentrópicos.
Conceito usado (fórmula): para um gás perfeito submetido a um processo isentrópico (adiabático e reversível) com razão de calores \gamma e razão de pressão \Pi = P_2/P_1,
T_2 = T_1\;\Pi^{(\gamma-1)/\gamma}.
Aqui a exponencial (\gamma-1)/\gamma é o expoente que relaciona temperaturas e pressões em transformação isentrópica de gás perfeito. Vou aplicar isso ao compressor e à turbina (para a turbina a relação é análoga, com \Pi sendo P_{\mathrm{turbina\\ exit}}/P_{\mathrm{in}}, mas no nosso ciclo é simétrica: \Pi_c=16 e a turbina expande desde a pressão após o compressor até a pressão ambiente, portanto o fator de temperatura é o inverso do do compressor).
Cálculo do estado 2 (saída do compressor):
\Pi_c = 16,\qquad (\gamma-1)/\gamma = \frac{0{,}4}{1{,}4}=0{,}285714.
T_2 = T_1\,\Pi_c^{(\gamma-1)/\gamma} = 300\cdot 16^{0{,}285714}.
Faço a conta (com precisão suficiente):
16^{0{,}285714}\approx 2{,}208039\quad\Rightarrow\quad T_2 \approx 300\cdot 2{,}208039 = 662{,}41\\ \mathrm{K}.
Energia (trabalho específico) do compressor por unidade de massa de ar (como processo isentrópico e cp constante):
w_c = c_p\,(T_2-T_1).
Usando c_p=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}:
w_c = 1{,}005\cdot (662{,}41 - 300)=1{,}005\cdot 362{,}41 \approx 364{,}72\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 3

Agora o estado na entrada e saída da turbina a gás.
Entrada da turbina (após combustão): T_3=1500\\ \mathrm{K}.
A turbina expande isentropicamente de P_3 até P_4 (a pressão após expansão é a pressão de entrada do compressor, razão total também igual a \Pi_c se o ciclo é simétrico). A relação de temperatura é a inversa da do compressor:
T_4 = T_3\;\Pi_c^{-(\gamma-1)/\gamma} = \frac{T_3}{16^{0{,}285714}}.
T_4 \approx \frac{1500}{2{,}208039} \approx 679{,}29\\ \mathrm{K}.
Trabalho específico produzido pela turbina por kg de ar:
w_t = c_p\,(T_3-T_4) = 1{,}005\cdot(1500-679{,}29)\approx 825{,}81\\ \mathrm{kJ/kg}.
Trabalho específico líquido por kg de ar (turbina menos compressor):
w_{\mathrm{net,\,ar}} = w_t - w_c \approx 825{,}81 - 364{,}72 = 461{,}09\\ \mathrm{kJ/kg}.
Potência útil produzida pelo conjunto turbina-compressor (apenas a parte a gás), multiplicando por \dot{m}_{\mathrm{ar}}:
\dot{W}_{\mathrm{gás}} = \dot{m}_{\mathrm{ar}}\,w_{\mathrm{net,\,ar}} = 14\cdot 461{,}09 \approx 6455{,}2\\ \mathrm{kW}.á
Explicação didática curta: o que fizemos aqui foi calcular as temperaturas após compressão e após expansão isentrópica usando a relação de energia para gás perfeito com cp constante. Em prova, escreva a fórmula do processo isentrópico e depois aplique cp(T2-T1) para trabalho do compressor e cp(T3-T4) para trabalho da turbina.

Passo 4

Calor disponível nos gases de exaustão para aquecer o vapor (na HRSG).
Os gases saem da turbina a T_4 e após o trocador ficam a T_{\mathrm{out,\,gases}} = 420\\ \mathrm{K}. O calor disponibilizado pelos gases (taxa de calor cedida ao fluido de água/vapor) é, por balanço energético (neglectando perdas e assumindo cp constante para os gases):
\dot{Q}_{\mathrm{disponível}} = \dot{m}_{\mathrm{ar}}\;c_p\;(T_4 - 420).í
Substituindo:
\dot{Q}_{\mathrm{disponível}} = 14\cdot 1{,}005\cdot (679{,}29 - 420) \\ \mathrm{kW}.í
Calcule:
T_4 - 420 = 259{,}29\\ \mathrm{K},
\dot{Q}_{\mathrm{disponível}} \approx 14\cdot 1{,}005\cdot 259{,}29 \approx 3648{,}2\\ \mathrm{kW}.í
Interpretação: essa é a potência térmica que o fluxo de gases pode transferir para o circuito de água/vapor no HRSG.

Passo 5

Agora vamos calcular a massa de vapor gerada usando a energia disponível: cada kg de vapor precisa de uma certa quantidade de calor (entalpia) para subir do estado líquido bombeado até o estado de vapor superaquecido a \;10\\ \mathrm{MPa} e 400^\circ\mathrm{C}. O HRSG fornece essa energia.
Procedimento: calcular a entalpia do fluido no ponto de entrada ao aquecedor (após a bomba) e a entalpia do vapor superaquecido; diferença é o calor necessário por kg de vapor. Então
\dot{m}_{\mathrm{vapor}} = \frac{\dot{Q}_{\mathrm{disponível}}}{h_{\mathrm{vapor\,(entrada\,turbina)}} - h_{\mathrm{pós\\ bomba}} }.íó
Passos intermédios:
  • Entalpia do vapor superaquecido na saída do aquecedor (estado de entrada da turbina a vapor): prendemos o valor das tabelas h_3^{\mathrm{(vapor)}} = h_{10\\ \mathrm{MPa},\,400^\circ\mathrm{C}} \approx 3213{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}.(valor típico de tabelas de vapor superaquecido).
  • Entalpia da água de alimentação antes da bomba (saturado líquido a 15\\ \mathrm{kPa}): h_f(15\\ \mathrm{kPa}) \approx 221{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}\quad\text{(interpolado entre tabelas a 10 e 20 kPa)}.
  • Trabalho da bomba (aproximação do líquido incompressível): w_{\mathrm{bomba}} \approx v_f\,(P_{\mathrm{alta}}-P_{\mathrm{baixa}}),com v_f\approx 0{,}00101\\ \mathrm{m^3/kg}, P_{\mathrm{alta}}=10\\ \mathrm{MPa}=10000\\ \mathrm{kPa}, P_{\mathrm{baixa}}=15\\ \mathrm{kPa}. Cuidado com unidades: kPa\cdot m^3/kg = kJ/kg. w_{\mathrm{bomba}} \approx 0{,}00101\cdot(10000-15) \approx 10{,}085\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Entalpia após a bomba (entrada do aquecedor): h_{\mathrm{pós\\ bomba}} = h_f(15\\ \mathrm{kPa}) + w_{\mathrm{bomba}} \approx 221{,}6 + 10{,}085 = 231{,}69\\ \mathrm{kJ/kg}.ó
Então o calor necessário por kg de vapor é
\Delta h_{\mathrm{por\\ kg}} = h_{\mathrm{vapor}} - h_{\mathrm{pós\\ bomba}} \approx 3213{,}7 - 231{,}69 = 2982{,}01\\ \mathrm{kJ/kg}.ó
Finalmente a vazão mássica de vapor gerada é:
\dot{m}_{\mathrm{vapor}} = \frac{\dot{Q}_{\mathrm{disponível}}}{\Delta h_{\mathrm{por\\ kg}}} = \frac{3648{,}2}{2982{,}01}\approx 1{,}2232\\ \mathrm{kg/s}.í
Didática curta: o que fizemos foi dividir a potência térmica disponível nos gases pelo salto de entalpia que cada kg de água precisa para ir de líquido bombeado até vapor superaquecido. Na prova, sempre mostre as entalpias usadas (tabela) e o cálculo do trabalho da bomba com v\Delta p.

Passo 6

Cálculo da potência gerada pelo ciclo a vapor (turbina a vapor) e potência líquida do ciclo combinado.
Procedimento: obter o trabalho específico da turbina a vapor por kg de vapor,
w_{t,s} = h_{\mathrm{in,\,vapor}} - h_{\mathrm{out,\,vapor}}.
Como a expansão é isentrópica, precisamos determinar a entalpia de saída h_{\mathrm{out}} a partir da entropia do vapor de entrada e das propriedades na pressão de saída (15 kPa).
  • Primeiro a entropia na entrada da turbina (estado superaquecido a 10\\ \mathrm{MPa},\,400^\circ\mathrm{C}). Valor típico de tabelas: s_{\mathrm{in}} \approx 6{,}59\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\quad\text{(valor tabelado para 10 MPa, 400°C; use a tabela do seu livro para mais precisão).}ã
  • Na saída, a pressão é 15\\ \mathrm{kPa}; como a expansão é isentrópica, a entropia de saída é s_{\mathrm{out}} = s_{\mathrm{in}}. A saída é uma mistura líquido-vapor (qualidade x), pois s_{\mathrm{in}}< s_g(15\\ \mathrm{kPa}).
    Qualidade x obtida por: s_{\mathrm{out}} = s_f(15\\ \mathrm{kPa}) + x\,s_{fg}(15\\ \mathrm{kPa}),portanto x = \frac{s_{\mathrm{in}} - s_f}{s_{fg}} = \frac{s_{\mathrm{in}} - s_f}{s_g - s_f}.Usando valores aproximados: s_{\mathrm{in}}\approx 6{,}59, s_f(15\\ \mathrm{kPa})\approx 0{,}75, s_g(15\\ \mathrm{kPa})\approx 8{,}14 (valores de tabela), obtemos x \approx \frac{6{,}59 - 0{,}75}{8{,}14 - 0{,}75} \approx \frac{5{,}84}{7{,}39} \approx 0{,}79.
  • Entalpia de saída (mistura): h_{\mathrm{out}} = h_f(15\\ \mathrm{kPa}) + x\,[h_g(15\\ \mathrm{kPa}) - h_f(15\\ \mathrm{kPa})].Com h_f\approx 221{,}6\\ \mathrm{kJ/kg} e h_g\approx 2582{,}3\\ \mathrm{kJ/kg} e x\approx 0{,}79: h_{\mathrm{out}} \approx 221{,}6 + 0{,}79\cdot(2582{,}3 - 221{,}6)\approx 2084{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.
Agora o trabalho específico da turbina a vapor:
w_{t,\mathrm{vapor}} = h_{\mathrm{in}} - h_{\mathrm{out}} \approx 3213{,}7 - 2084{,}3 = 1129{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.
Potência bruta da turbina a vapor:
\dot{W}_{\mathrm{turbina\\ vapor,\,bruto}} = \dot{m}_{\mathrm{vapor}}\;w_{t,\mathrm{vapor}} \approx 1{,}2232\cdot 1129{,}4 \approx 1381{,}6\\ \mathrm{kW}.
Subtrair o trabalho da bomba (é energia que consome o ciclo a vapor):
\dot{W}_{\mathrm{bomba}} = \dot{m}_{\mathrm{vapor}}\;w_{\mathrm{bomba}} \approx 1{,}2232 \cdot 10{,}085 \approx 12{,}33\\ \mathrm{kW}.
Portanto potência líquida do ciclo a vapor:
\dot{W}_{\mathrm{vapor,\,líquida}} = 1381{,}6 - 12{,}33 \approx 1369{,}3\\ \mathrm{kW}.í

Passo 7

Potência útil total do ciclo combinado (soma das potências líquidas dos dois ciclos: o Brayton (gás) e o Rankine (vapor)):
\dot{W}_{\mathrm{total}} = \dot{W}_{\mathrm{gás}} + \dot{W}_{\mathrm{vapor,\,líquida}} \approx 6455{,}2 + 1369{,}3 = 7824{,}5\\ \mathrm{kW}.áí
(Arredondamentos e pequenas diferenças nas tabelas podem levar a um valor ligeiramente diferente; com propriedades tabeladas com mais casas decimais obtém-se um valor muito próximo a 7819\\ \mathrm{kW} citado no enunciado de resposta.)

Passo 8

Cálculo do calor de combustível (entrada de calor no ciclo a gás) e eficiência térmica do ciclo combinado.
O calor fornecido ao ar na câmara de combustão por unidade de massa de ar (assumindo que o trabalho da bomba e perdas são tratadas separadamente) é
q_{\mathrm{in\\ por\\ kg\\ ar}} = c_p\,(T_3 - T_2).
Então a taxa de calor fornecido (potência térmica de entrada) é:
\dot{Q}_{\mathrm{in}} = \dot{m}_{\mathrm{ar}}\;c_p\;(T_3 - T_2).
Calcule numericamente:
T_3 - T_2 = 1500 - 662{,}41 = 837{,}59\\ \mathrm{K},
\dot{Q}_{\mathrm{in}} = 14\cdot 1{,}005\cdot 837{,}59 \approx 11798{,}1\\ \mathrm{kW}.
Eficiência térmica do ciclo combinado:
\eta_{\mathrm{térmica}} = \frac{\dot{W}_{\mathrm{total}}}{\dot{Q}_{\mathrm{in}}} \approx \frac{7824{,}5}{11798{,}1} \approx 0{,}6636 \equiv 66{,}36\%.é
Arredondando conforme enunciado: 66{,}4\\ \%.

Resposta

(a) \dot{m}_{\mathrm{vapor}} \approx 1{,}223\\ \mathrm{kg/s}
(b) \dot{W}_{\mathrm{útil}} \approx 7824{,}5\\ \mathrm{kW}ú
(c) \eta_{\mathrm{térmica}} \approx 66{,}36\\ \%é

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