4 Usando um gás ideal como fluido de trabalho, mostre que a eficiência térmica de um ciclo Ericsson é idêntica à eficiência de um ciclo de Carnot operando entre os mesmos limites de temperatura.
Resposta: \eta_{t h}=1-\frac{T_{L}}{T_{H}}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um ciclo Ericsson, usando um gás ideal, tem eficiência térmica igual à de um ciclo de Carnot operando entre as mesmas temperaturas extremas T_{H} e T_{L}. Para isso vamos usar a lei dos gases ideais e a definição de eficiência
\eta = 1 - \frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}.

Passo 2

O ciclo Ericsson é composto de quatro passos:
  1. Expansão isotérmica a T_{H} ( 1\to 2), trocando calor Q_{H} com a fonte quente.
  2. Resfriamento isobárico ( 2\to 3) de T_{H} para T_{L} no regenerador (sem perda líquida).
  3. Compressão isotérmica a T_{L} ( 3\to 4), rejeitando calor Q_{L} para o dissipador frio.
  4. Aquecimento isobárico ( 4\to 1) de T_{L} para T_{H} no regenerador (recuperação de calor).
Como o regenerator é ideal, o calor absorvido em ( 4\to 1) compensa exatamente o rejeitado em ( 2\to 3), logo os únicos calores trocados com fontes externas são Q_{H} e Q_{L}.

Passo 3

Na expansão isotérmica ( 1\to 2) a T_{H}, o calor cedido pelo reservatório quente é
Q_{H} = n\,R\,T_{H}\,\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}.

Passo 4

Na compressão isotérmica ( 3\to 4) a T_{L}, o calor rejeitado ao reservatório frio é
Q_{L} = n\,R\,T_{L}\,\ln\frac{V_{3}}{V_{4}}.

Passo 5

Nas transformações isobáricas com o regenerator ideal temos, pela lei dos gases ideais:
\frac{V_{3}}{V_{2}} = \frac{T_{L}}{T_{H}}, \quad \frac{V_{4}}{V_{1}} = \frac{T_{L}}{T_{H}}.
Multiplicando \tfrac{V_{3}}{V_{2}} por \tfrac{V_{2}}{V_{1}} e em seguida por \tfrac{V_{1}}{V_{4}} mostra-se que
\frac{V_{3}}{V_{4}} = \frac{V_{3}}{V_{2}}\;\frac{V_{2}}{V_{1}}\;\frac{V_{1}}{V_{4}} = \frac{T_{L}}{T_{H}}\;\frac{V_{2}}{V_{1}}\;\frac{T_{H}}{T_{L}} = \frac{V_{2}}{V_{1}}.

Passo 6

Substituindo \tfrac{V_{3}}{V_{4}}=\tfrac{V_{2}}{V_{1}} em Q_{L}
Q_{L} = n\,R\,T_{L}\,\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}.
Logo
\frac{Q_{L}}{Q_{H}} = \frac{n\,R\,T_{L}\,\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}}{n\,R\,T_{H}\,\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}} = \frac{T_{L}}{T_{H}},
e a eficiência do ciclo é
\eta = 1 - \frac{Q_{L}}{Q_{H}} = 1 - \frac{T_{L}}{T_{H}}.

Resposta

\eta_{th} = 1 - \frac{T_{L}}{T_{H}}

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