Utilizando a regra cíclica e recíproca quando necessário, determine a derivada parcial
(partial vpartial T)P
para a seguinte função de duas variáveis
p(T, v)=R T e^-a / v R Tv-b
em que, R, a e b são constantes. Note que não é possível isolar v nesta equação de modo que não é possível calcular a derivada desejada diretamente. Justamente em casos como este, é que as identidades de derivadas parciais são fundamentais! obs: eu quero que use as duas identidades de derivadas parciais para concluir esta questão.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a equação de estado
p(T,v)=R,T,e^-a/(v R T)v-b
com R,a,b constantes, e pede a derivada parcial
l(partial vpartial Tr)P,,
isto é, como v varia com T quando a pressão P fica fixa.
O conteúdo aqui é derivada parcial e identidades de derivadas parciais (recíproca e cíclica).
Para resolver vamos usar:
  1. Identidade cíclica
l(partial vpartial Tr)P l(partial Tpartial Pr)v l(partial Ppartial vr)T =-1
  1. Identidade recíproca
l(partial Tpartial Pr)v =1(partial P/partial T)v
  1. Regras de derivação de produto, quociente e exponencial.

Passo 2

Vamos combinar as duas identidades:
da cíclica
l(partial vpartial Tr)P l(partial Tpartial Pr)v l(partial Ppartial vr)T =-1
e da recíproca
l(partial Tpartial Pr)v =1(partial P/partial T)v
vem
l(partial vpartial Tr)P ;1(partial P/partial T)v ;l(partial Ppartial vr)T =-1 Longrightarrow l(partial vpartial Tr)P =-(partial P/partial T)v(partial P/partial v)T,
Esse é o esquema: reduzir tudo a (partial P/partial T)v e (partial P/partial v)T.

Passo 3

Calcular (partial P/partial T)v.
Escrevendo
p(T,v)=R,Tv-b;e^-,avRT
tratamos v como constante.
  1. Derivada de R,T em relação a T é R.
  2. Derivada de e^-a/(vRT) em relação a T:
    • o expoente é -,avR,T, cuja derivada é
      -,l(-avR,T^2r)=+avR,T^2
    • pelo chain rule dá
      e^-a/(vRT)!cdot!avR,T^2.
      Então
(partial P/partial T)v =1v-bl[ R,e^-a/(vRT) ;+;R,T,e^-a/(vRT)cdotavR,T^2 r] =e^-a/(vRT)v-bl[R+avTr]

Passo 4

Calcular (partial P/partial v)T.
Agora T é constante.
p(T,v)=R,T;underbracee^-a/(vRT)E(v);underbrace1v-bU(v)
Usando produto:
(partial p/partial v)T =R,Tl[E'(v),U(v)+E(v),U'(v)r]
  1. E'(v)=e^-a/(vRT)cdotav^2R,T.
  2. U'(v)=-1(v-b)^2.
    Logo
(partial P/partial v)T =R,Tl[ e^-a/(vRT)av^2R,T1v-b ;-;e^-a/(vRT)1(v-b)^2 r] =e^-a/(vRT)l[av^2(v-b)-R,T(v-b)^2r]

Passo 5

Agora é só montar
l(partial vpartial Tr)P =-(partial P/partial T)v(partial P/partial v)T =-e^-a/(vRT)v-bl[R+avTr] e^-a/(vRT)l[av^2(v-b)-RT(v-b)^2r]
Cancelamos e^-a/(vRT). Comum-denominador e reorganizando, obtemos
[
\Bigl(\frac{\partial v}{\partial T}\Bigr)_{P}

-\frac{(R+\tfrac{a}{vT})/(v-b)}
{\tfrac{a}{v2(v-b)}-\tfrac{RT}{(v-b)2}}

-\frac{(R+\tfrac{a}{vT}),v^2,(v-b)}
{,a,(v-b);-;RT,v^2,}.
]
Podemos tirar o sinal e inverter o denomínio:

Resposta

boxed l(partial vpartial Tr)P =l(R+avTr),v^2,(v-b) RT,v^2 - a,(v-b),

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