Vapor d’água é admitido em uma turbina à pressão de 30 bar, temperatura de 400^{\circ} \mathrm{C} e velocidade de 160 \mathrm{~m} / \mathrm{s} .0 vapor é descarregado como vapor saturado a 100^{\circ} \mathrm{C} com velocidade de 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Em regime permanente, a turbina realiza um trabalho igual a 540 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} de vapor que atravessa a máquina. Ocorre transferência de calor entre a turbina e a
vizinhança a uma temperatura média de superfície externa de 350 K . Despreze a variação de energia potencial entre admissão e descarga.
A) Determine a taxa de geração de entropia no interior da turbina por kg de vapor escoando (em kJ/kg).
B) Se a fronteira do sistema for escolhida de modo a incluir uma porção da vizinhança próxima até T_{b}=293 \mathrm{~K}, qual seria então a taxa de geração de entropia?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do escoamento por kg de vapor (peguei os números diretamente do enunciado):
    • Entrada (1): pressão 30\\ \text{bar}, temperatura 400^\circ\mathrm{C}, velocidade V_1=160\\ \mathrm{m/s}.
    • Saída (2): vapor saturado a 100^\circ\mathrm{C}, velocidade V_2=100\\ \mathrm{m/s}.
    • Trabalho realizado pela turbina (por kg de vapor): w=540\\ \mathrm{kJ/kg}. (é o trabalho útil entregue pelo fluido)
    • Transferência de calor entre turbina e vizinhança ocorre com temperatura média de superfície T_s=350\\ \mathrm{K}.
    • Desprezar variação de energia potencial.
  • O enunciado pede:
    A) Determinar a taxa de geração de entropia no interior da turbina por kg de vapor que atravessa a máquina (unidade \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}).
    B) Se a fronteira do sistema for escolhida incluindo parte da vizinhança até T_b=293\\ \mathrm{K}, qual seria então a taxa de geração de entropia?

Passo 2

Plano de resolução (o que vamos usar — sem resolver ainda).
  • Usaremos o balanço de energia para sistema de escoamento estacionário por unidade de massa para encontrar a transferência de calor específica q (kJ/kg).
  • Usaremos o balanço de entropia para sistema aberto em regime permanente para calcular a geração de entropia específica s_{gen}.
  • Precisamos de propriedades termodinâmicas do vapor (entalpia e entropia) nas condições de entrada e saída; vou pegar esses valores em tabelas de vapor (vou indicar quais números foram usados).
  • Lembrem-se: toda equação e cada variável será explicada na etapa em que for usada.

Passo 3

Balanço de energia (por unidade de massa, regime permanente).
  • A forma conveniente da primeira lei para escoamento estacionário por kg é
q - w = h_2 - h_1 + \frac{V_2^2 - V_1^2}{2},
onde:
  • q é o calor recebido pela massa (kJ/kg), positivo quando entra no sistema;
  • w é o trabalho realizado pelo sistema (kJ/kg), aqui w=540\\ \mathrm{kJ/kg};
  • h_1,h_2 são as entalpias específicas na entrada e saída (kJ/kg);
  • V_1,V_2 são velocidades (m/s) e o termo \dfrac{V^2}{2} dá energia cinética por unidade de massa (J/kg, que converteremos em kJ/kg dividindo por 1000).
  • Rearranjando para q:
q = w + h_2 - h_1 + \frac{V_2^2 - V_1^2}{2}.
Explicação: essa fórmula diz que o calor fornecido ao fluido compensa a diferença entre trabalho entregue e a mudança de energia por unidade de massa (entalpia + energia cinética).

Passo 4

Pegar propriedades do vapor nas condições dadas (valores obtidos em tabelas de vapor/superaquecido).
  • Saída (2): vapor saturado a 100^\circ\mathrm{C}. Das tabelas de vapor saturado (peguei estes números nas tabelas):
    • entalpia do vapor saturado a 100^\circ\mathrm{C}: h_2 = 2675{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • entropia do vapor saturado a 100^\circ\mathrm{C}: s_2 = 7{,}3590\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Entrada (1): vapor superaquecido a 30\\ \text{bar} e 400^\circ\mathrm{C}. Das tabelas de vapor superaquecido (peguei estes números nas tabelas):
    • entalpia em 30\\ \text{bar},\\\ 400^\circ\mathrm{C}: h_1 = 3230{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • entropia em 30\\ \text{bar},\\\ 400^\circ\mathrm{C}: s_1 = 6{,}749\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Observação didática rápida sobre tabelas: as tabelas fornecem h e s para vapor saturado (em função de T ou P) e para vapor superaquecido (em função de P e T). Aqui usei o dado de vapor saturado a 100^\circ\mathrm{C} e os dados do vapor superaquecido a 30\\ \text{bar}, 400^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular a variação de energia cinética por kg (converter J/kg para kJ/kg).
  • Energia cinética específica: \dfrac{V^2}{2} (em J/kg). Convertendo para kJ/kg dividindo por 1000.
  • Calcular:
\frac{V_1^2}{2} = \frac{160^2}{2} = \frac{25600}{2} = 12800\\ \mathrm{J/kg} = 12{,}8\\ \mathrm{kJ/kg},
\frac{V_2^2}{2} = \frac{100^2}{2} = \frac{10000}{2} = 5000\\ \mathrm{J/kg} = 5{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Logo
\frac{V_2^2 - V_1^2}{2} = 5{,}0 - 12{,}8 = -7{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Calcular q usando a equação de energia e os valores das tabelas.
  • Substituindo em
q = w + h_2 - h_1 + \frac{V_2^2 - V_1^2}{2},
com w=540\\ \mathrm{kJ/kg}, h_2=2675{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}, h_1=3230{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}, e \Delta ke = -7{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}:
q = 540 + 2675{,}5 - 3230{,}7 - 7{,}8.
  • Executando as contas passo a passo:
    • 540 + 2675{,}5 = 3215{,}5.
    • 3215{,}5 - 3230{,}7 = -15{,}2.
    • -15{,}2 - 7{,}8 = -23{,}0.
  • Portanto
q \approx -23{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
Interpretação: q<0 significa que, por kg de vapor, há uma perda líquida de calor para a vizinhança (o vapor cede calor).

Passo 7

Balanço de entropia para sistema aberto em regime permanente (por kg).
  • A forma útil do balanço de entropia por unidade de massa é
s_{gen} = s_2 - s_1 - \frac{q}{T_{\text{ext}}},
onde:
  • s_{gen} é a geração de entropia específica (kJ/(kg·K));
  • s_1,s_2 são as entropias específicas na entrada e saída (kJ/(kg·K));
  • q é o calor por kg, com o mesmo sinal usado antes (positivo entra no sistema);
  • T_{\text{ext}} é a temperatura da superfície onde o calor é trocado com o entorno — para a parte (A) usaremos T_s=350\\ \mathrm{K}.
  • Explicação: esta fórmula vem de \dot{S}_{out} - \dot{S}_{in} - \sum \dot{Q}_k/T_k = \dot{S}_{gen}; dividindo por massa obtém-se a expressão acima.

Passo 8

Calcular a geração de entropia (parte A) usando T_s=350\\ \mathrm{K}.
  • Substituir s_2 = 7{,}3590\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, s_1 = 6{,}749\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, q = -23{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}, T_s=350\\ \mathrm{K}:
s_{gen,A} = 7{,}3590 - 6{,}749 - \frac{-23{,}0}{350}.
  • Calcule passo a passo:
    • 7{,}3590 - 6{,}749 = 0{,}6100\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • -\dfrac{-23{,}0}{350} = +\dfrac{23{,}0}{350} \approx 0{,}065714\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Soma: 0{,}6100 + 0{,}065714 = 0{,}675714\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Arredondando convenientemente:
s_{gen,A} \approx 0{,}676\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 9

Interpretação física breve da parte A (motivo do sinal e ordem de grandeza).
  • O valor positivo indica irreversibilidades internas (atrito, não reversibilidade na expansão, gradientes de temperatura durante a rejeição de calor etc.). Ordem de grandeza de 10^{-1}\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} é razoável para uma turbina real com perdas significativas.

Passo 10

Parte B — se a fronteira do sistema for expandida para incluir uma porção da vizinhança até T_b=293\\ \mathrm{K}.
  • Agora a troca de calor que sai da turbina ( q por kg, que já calculamos) atravessa a nova fronteira a T_b. Pelo balanço de entropia para esse sistema ampliado a expressão é a mesma forma:
s_{gen,B} = s_2 - s_1 - \frac{q}{T_b},
onde T_b=293\\ \mathrm{K} e q permanece o mesmo valor por conservação de energia (em regime estacionário a energia que sai da turbina para a vizinhança tem de atravessar até a fronteira exterior).
  • Substituindo os valores:
s_{gen,B} = 7{,}3590 - 6{,}749 - \frac{-23{,}0}{293}.
  • Calcule passo a passo:
    • 7{,}3590 - 6{,}749 = 0{,}6100\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • -\dfrac{-23{,}0}{293} = +\dfrac{23{,}0}{293} \approx 0{,}0785\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Soma: 0{,}6100 + 0{,}0785 = 0{,}6885\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Arredondando:
s_{gen,B} \approx 0{,}689\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 11

Interpretação física da diferença entre A e B.
  • Quando a fronteira inclui apenas a vizinhança até T_s=350\\ \mathrm{K}, a entropia criada associada à transferência de calor é contabilizada com denominação T_s. Ao expandir a fronteira até T_b=293\\ \mathrm{K}, o mesmo calor q atravessa agora uma fronteira mais fria, e a contribuição -q/T para o balanço de entropia é maior (porque 1/T_b>1/T_s quando q<0). Assim a geração total de entropia do sistema ampliado é um pouco maior — física simples: transferir calor para um corpo mais frio gera mais entropia irreversivelmente.

Resposta

s_{gen,A} \approx 0{,}676\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
s_{gen,B} \approx 0{,}689\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

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