A velocidade das ondas no oceano depende da profundidade ( d ) da água e pode ser aproximada para v approx raizg d. Utilizando esse resultado e a conservação da energia mecânica explique por que as ondas no oceano aumentam suas cristas quando se aproximam costa?

Passo 1

O enunciado diz que, em primeira aproximação, a velocidade de propagação de uma onda no oceano é
v approx raizg,d
onde g é a aceleração da gravidade e d é a profundidade da água. Queremos usar isso e a conservação da energia mecânica para explicar por que as cristas das ondas crescem à medida que elas se aproximam da costa (ou seja, quando d diminui).

Passo 2

Uma onda de pequena amplitude carrega energia mecânica dividida em parte cinética e parte potencial. A densidade de energia por unidade de área da superfície livre (energia por área) é dada por
E approx tfrac12,rho,g,A^2
onde rho é a densidade da água e A é a amplitude da onda (da superfície calma até o topo da crista).

Passo 3

O fluxo de energia por unidade de comprimento de crista (energia que atravessa uma “faixa” de largura unitária por segundo) é
F = E ,v
Em águas profundas até rasas, assumimos que não há grandes perdas de energia, então F se mantém aproximadamente constante ao longo do percurso da onda.

Passo 4

Quando a onda se aproxima da costa, a profundidade d diminui, logo
v approx raizg,d
fica cada vez menor. Para manter F = E,v constante, a densidade de energia E precisa crescer. Como Epropto A^2, isso implica que a amplitude A aumenta.

Resposta

À medida que a profundidade d cai, a velocidade v diminui (por vapproxraizg,d). Pelo princípio da conservação do fluxo de energia F=E,vapprox constante, a densidade de energia E cresce, e como Epropto A^2, a amplitude A – isto é, a altura das cristas – aumenta.

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