What is the thickness required of a masonry wall having thermal conductivity 0.75 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} if the heat rate is to be 80 \% of the heat rate through a composite structural wall having a thermal conductivity of 0.25 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot K and a thickness of 100 mm ? Both walls are subjected to the same surface temperature difference.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Condutividade térmica do revestimento de alvenaria: k_{\text{m}} = 0,75\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Condutividade térmica da parede estrutural composta: k_{\text{s}} = 0,25\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Espessura da parede estrutural composta: L_{\text{s}} = 100\\ \mathrm{mm}.
    • As duas paredes são submetidas à mesma diferença de temperatura superficial \Delta T.
    • A taxa de calor através da parede de alvenaria deve ser 80\% da taxa de calor através da parede estrutural composta.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a espessura L_{\text{m}} da parede de alvenaria que assegura que a taxa de calor através dela seja 80\% da taxa de calor da parede composta, sob a mesma \Delta T.

Passo 2

Princípio físico e fórmula a usar (explicação didática).
Para condução de calor unidimensional através de uma parede plana e homogênea, a taxa de calor (potência térmica) é dada por uma forma de Lei de Fourier simplificada:
\dot{Q} = \frac{k\,A\,\Delta T}{L},
onde:
  • \dot{Q} é a taxa de calor (em \mathrm{W}),
  • k é a condutividade térmica do material (em \mathrm{W/(m\cdot K)}),
  • A é a área da parede (em \mathrm{m^2}),
  • \Delta T é a diferença de temperatura entre as superfícies da parede (em \mathrm{K} ou ^\circ\mathrm{C}),
  • L é a espessura da parede (em \mathrm{m}).
Importante: como as duas paredes têm a mesma \Delta T e podemos comparar taxas de calor por unidade de área, é conveniente trabalhar com o fluxo de calor (taxa por área):
\dot{q} = \frac{\dot{Q}}{A} = \frac{k\,\Delta T}{L}.
Assim, a área cancela e não é necessária para comparar as duas paredes.

Passo 3

Escrever a condição pedida em termos matemáticos.
A condição é que a taxa de calor através da parede de alvenaria seja 80\% da taxa de calor através da parede composta:
\dot{q}_{\text{m}} = 0,8\,\dot{q}_{\text{s}}.
Usando \dot{q} = \dfrac{k\,\Delta T}{L} e cancelando o \Delta T comum em ambos os lados, obtemos:
\frac{k_{\text{m}}}{L_{\text{m}}} = 0,8\,\frac{k_{\text{s}}}{L_{\text{s}}}.

Passo 4

Isolar L_{\text{m}} na equação e apresentar a fórmula para calcular.
A partir de
\frac{k_{\text{m}}}{L_{\text{m}}} = 0,8\,\frac{k_{\text{s}}}{L_{\text{s}}},
isolamos L_{\text{m}}:
L_{\text{m}} = \frac{k_{\text{m}}\,L_{\text{s}}}{0,8\,k_{\text{s}}}.

Passo 5

Converter unidades e substituir números, com contas passo a passo.
Primeiro converto a espessura dada para metros:
L_{\text{s}} = 100\\ \mathrm{mm} = 0,1\\ \mathrm{m}.
Agora substituo os valores na fórmula:
L_{\text{m}} = \frac{0,75\cdot 0,1}{0,8\cdot 0,25}.
Calculo numerador e denominador separadamente:
\text{numerador} = 0,75\cdot 0,1 = 0,075,
\text{denominador} = 0,8\cdot 0,25 = 0,20.
Dividindo:
L_{\text{m}} = \frac{0,075}{0,20} = 0,375\\ \mathrm{m}.
Converto para milímetros (mais prático para espessuras de parede):
0,375\\ \mathrm{m} = 375\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Interpretação final curta e verificação dimensional.
  • Unidade: a expressão resulta em metros porque \dfrac{k\,L}{k} deixa L em metros; os fatores adimensionais ( 0,8) não alteram as unidades.
  • Verificação qualitativa: o material de alvenaria tem maior condutividade ( 0,75 vs 0,25), logo para reduzir o fluxo a 80\% do valor da parede mais condutora é necessário aumentar bastante a espessura — o resultado 375\\ \mathrm{mm} faz sentido.

Resposta

\,L_{\text{m}} = 0,375\\ \mathrm{m} = 375\\ \mathrm{mm}

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