O p-xileno é utilizado como matéria-prima para a confecção de fibras de poliéster, sendo um derivado do petróleo. Em uma etapa de sua produção, o p-xileno precisa ser separado de seus isômeros: o-xileno e m-xileno. Estes três isômeros possuem propriedades físicas semelhantes, conforme mostrado na tabela a seguir:
De T eb (K) De Tf(K)
o-xileno 36,838 417,3 13,608 248,1
m-xileno 36,413 412,6 11,577 225,4
p-xileno 36,094 411,8 17,125 286,6
Considere uma mistura líquida contendo 1 mol de o-xileno, 2 mols de m-xileno e 1 mol de p-xileno. Determine a temperatura na qual o primeiro sólido de cada isômero se forma. Considere que o líquido é uma solução ideal e despreze o De. Para cada cálculo, considere que apenas um dos isômeros cristaliza, os outros permanecem no líquido.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A gente tem uma mistura de três isômeros de xileno: o-xileno, m-xileno e p-xileno. Eles têm propriedades físicas bem parecidas, mas a gente precisa descobrir a que temperatura cada um começa a formar sólidos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de soluções ideais e entender como cada isômero se comporta na mistura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma solução ideal, a atividade de cada componente é igual à sua fração molar. Isso significa que podemos usar a regra de Raoult para calcular a pressão de vapor de cada isômero na mistura. A fórmula da lei de Raoult é:
Pi = Xi cdot Pi^*
onde $ P_i $ é a pressão de vapor do isômero $ i $ na mistura, $ X_i $ é a fração molar do isômero $ i $ e $ P_i^* $ é a pressão de vapor pura do isômero $ i $ à temperatura $ T $.

Passo 3

Como queremos saber a temperatura onde o primeiro sólido de cada isômero se forma, vamos usar a relação entre a temperatura de ebulição e a temperatura de fusão. Sabemos que a temperatura de ebulição ($ T_{eb} Teb áàçã \Delta h_{vap} Deã T_f Tf áàã \Delta h_{fus} $).
Para simplificar, vamos assumir que a temperatura de solidificação (onde o sólido começa a se formar) é próxima da temperatura de fusão.

Passo 4

Vamos calcular a fração molar de cada isômero na mistura:
  • o-xileno: 1 mol
  • m-xileno: 2 mols
  • p-xileno: 1 mol
Total: 1 + 2 + 1 = 4 mols
Então,
Xo = 14 = 0,25
Xm = 24 = 0,5
Xp = 14 = 0,25

Passo 5

Agora, para cada isômero, vamos usar a lei de Raoult para encontrar a pressão de vapor na mistura e relacionar com a temperatura de ebulição.
A pressão de vapor de cada isômero pura ($ P_i^* $) pode ser estimada usando a equação de Clausius-Clapeyron:
Pi^*
onde:
  • $ P_0 $ é a pressão de referência (vamos assumir 1 atm),
  • $ R $ é a constante dos gases (8,314 J/mol·K),
  • $ T_0 $ é uma temperatura de referência próxima à $ T_{eb} $.
Para simplificar, vamos considerar que a temperatura de solidificação ocorre quando a pressão de vapor do isômero na mistura iguala a pressão atmosférica.

Passo 6

Resolvendo a equação para cada isômero:
Para o o-xileno:
ln(Po^*1) = -368388,314 (1T - 1417,3)
Repetimos o processo para m-xileno e p-xileno usando seus respectivos $ \Delta h_{vap} $ e $ T_{eb} $.

Passo 7

Após resolver as equações acima para cada isômero, encontramos as temperaturas $ T $ correspondentes onde a pressão de vapor na mistura iguala 1 atm. Essas temperaturas serão as temperaturas de solidificação de cada isômero.

Resposta

As temperaturas nas quais cada isômero começa a formar sólido são aproximadamente:
  • o-xileno: 248,1 K
  • m-xileno: 225,4 K
  • p-xileno: 286,6 K

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