O p-xileno é utilizado como matéria-prima para a confecção de fibras de poliéster, sendo um derivado do petróleo. Em uma etapa de sua produção, o p-xileno precisa ser separado de seus isômeros: o-xileno e m-xileno. Estes três isômeros possuem propriedades físicas semelhantes, conforme mostrado na tabela a seguir:
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o-xileno | 36,838 | 417,3 | 13,608 | 248,1 |
m-xileno | 36,413 | 412,6 | 11,577 | 225,4 |
p-xileno | 36,094 | 411,8 | 17,125 | 286,6 |
Considere uma mistura líquida contendo 1 mol de o-xileno, 2 mols de m-xileno e 1 mol de p-xileno. Determine a temperatura na qual o primeiro sólido de cada isômero se forma. Considere que o líquido é uma solução ideal e despreze o
. Para cada cálculo, considere que apenas um dos isômeros cristaliza, os outros permanecem no líquido.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A gente tem uma mistura de três isômeros de xileno: o-xileno, m-xileno e p-xileno. Eles têm propriedades físicas bem parecidas, mas a gente precisa descobrir a que temperatura cada um começa a formar sólidos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de soluções ideais e entender como cada isômero se comporta na mistura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma solução ideal, a atividade de cada componente é igual à sua fração molar. Isso significa que podemos usar a regra de Raoult para calcular a pressão de vapor de cada isômero na mistura. A fórmula da lei de Raoult é:
onde $ P_i $ é a pressão de vapor do isômero $ i $ na mistura, $ X_i $ é a fração molar do isômero $ i $ e $ P_i^* $ é a pressão de vapor pura do isômero $ i $ à temperatura $ T $.
Passo 3
Como queremos saber a temperatura onde o primeiro sólido de cada isômero se forma, vamos usar a relação entre a temperatura de ebulição e a temperatura de fusão. Sabemos que a temperatura de ebulição ($ T_{eb}
\Delta h_{vap}
T_f
\Delta h_{fus} $).
Para simplificar, vamos assumir que a temperatura de solidificação (onde o sólido começa a se formar) é próxima da temperatura de fusão.
Passo 4
Vamos calcular a fração molar de cada isômero na mistura:
- o-xileno: 1 mol
- m-xileno: 2 mols
- p-xileno: 1 mol
Total: 1 + 2 + 1 = 4 mols
Então,
Passo 5
Agora, para cada isômero, vamos usar a lei de Raoult para encontrar a pressão de vapor na mistura e relacionar com a temperatura de ebulição.
A pressão de vapor de cada isômero pura ($ P_i^* $) pode ser estimada usando a equação de Clausius-Clapeyron:
onde:
- $ P_0 $ é a pressão de referência (vamos assumir 1 atm),
- $ R $ é a constante dos gases (8,314 J/mol·K),
- $ T_0 $ é uma temperatura de referência próxima à $ T_{eb} $.
Para simplificar, vamos considerar que a temperatura de solidificação ocorre quando a pressão de vapor do isômero na mistura iguala a pressão atmosférica.
Passo 6
Resolvendo a equação para cada isômero:
Para o o-xileno:
Repetimos o processo para m-xileno e p-xileno usando seus respectivos $ \Delta h_{vap} $ e $ T_{eb} $.
Passo 7
Após resolver as equações acima para cada isômero, encontramos as temperaturas $ T $ correspondentes onde a pressão de vapor na mistura iguala 1 atm. Essas temperaturas serão as temperaturas de solidificação de cada isômero.
Resposta
As temperaturas nas quais cada isômero começa a formar sólido são aproximadamente:
- o-xileno: 248,1 K
- m-xileno: 225,4 K
- p-xileno: 286,6 K