Enunciado

Um tanque de ar comprimido contém 142 litros de ar à pressão manométrica de 827,37   k P a , isto é, acima da pressão atmosférica. Calcule a energia, em N ⋅ m = J , necessária para comprimir esse ar da atmosfera, supondo um processo isotérmico ideal.

Passo 1

Podemos começar usando a equação de trabalho para um gás a temperatura constante:

W = ∫ P d V

E substituir P através da equação de gases ideais, para que tudo fique em função de V :

P = ρ R T

P = n V R T

Fica assim:

W = ∫ n V R T d V

E ao integrarmos:

W = n R T l n V 2 V 1

Passo 2

Mas nossa equação está em termos do volume, e o enunciado só deu o volume inicial e as pressões inicial e final, então fazemos uma mudança usando a lei dos gases perfeitos para a transformação 1 → 2 , que seria do ar atmosférico sobre pressão ambiente até a situação do ar comprimido:

P 2 V 2 = n R T

P 1 V 1 = n R T

Igualando:

P 2 V 2 = P 1 V 1

V 2 V 1 = P 2 P 1

Agora aplicamos a função logaritmo nos dois lados:

ln ⁡ V 2 V 1 = ln ⁡ P 2 P 1

E podemos substituir na equação de W :

W = n R T ln ⁡ P 2 P 1

Passo 3

Como não temos o valor de m do gás, nem de T podemos usar de novo a equação dos gases ideais:

P 2 V 2 = P 1 V 1 = n R T

Fica:

W = P 2 V 2 ln ⁡ P 2 P 1

Agora falta só substituir tudo, mas antes, a pressão do ar comprimido é manométrica, precisamos adicionar o valor da pressão atmosférica ao valor dado no enunciado:

P 2 = P m a n + P a t m = 827 , 3 7   k P a + 101   k P a

P 2 = 928 . 3 7 × 10 3   k P a

Substituindo os valores:

W = 928 . 3 7 × 10 3   k P a 0,142   m 3 ln ⁡ 928 . 3 7 101

W = 292,44   J

Esse é o trabalho necessário para comprimir o gás.

Resposta

W = 292,44   J

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