Enunciado

A Figura P1.14 mostra o escoamento da água sobre uma barragem. Sabe-se que a vazão em volume Q depende somente da largura da soleira B , da aceleração da gravidade g e da altura da lâmina d’água a montante H , acima da soleira da barragem. Sabe-se também que Q é proporcional a B . Qual é a forma da única relação dimensionalmente homogênea possível para essa vazão?

Passo 1

Bom, o enunciado diz que a vazão é proporcional a H que é a altura da barragem de água, B a largura e g é a gravidade. A parte do lado direito da equação precisa ter as mesmas dimensões que a parte esquerda.

A parte esquerda é a própria vazão Q, que tem dimensão:

Q = L 3 / T

Então a direita também precisa ter a mesma dimensão, como ela é composta pelas grandezas que o enunciado fala, vamos primeiro escrever cada uma dessas grandezas em termos de suas dimensões:

H = L

B = L

g = L / T 2

Passo 2

Como o enunciado fala que a vazão é proporcional a B , a equação vai ter essa cara:

Q = B f ( g , H )

Sendo que ainda não sabemos a forma de f g , H , mas como dá para ver no passo 1, o tempo na gravidade está ao quadrado, mas na vazão Q não. Então vamos precisar tirar raiz da gravidade primeiro para ficar homogêneo. Vai ficar algo desse tipo:

Q = B f ( H ) g 1 2

Sobrando agora uma função f ( H ) .

Passo 3

Mas ainda não deixa a equação homogênea:

L 3 / T = L f ( H ) L / T 2 1 2 = L f ( H ) L 1 2 / T

Dá para reparar que quando tiramos a raiz da gravidade, tiramos a raiz do L que tá ali dentro.

Para compensar isso a gente pode usar a f ( H ) , escrevendo ela assim:

f H = H 3 2

Agora o termo que depende de H tem a dimensão:

H 3 2 = L 3 2

E isso compensa o termo L 1 2 que não deixava a equação homogênea.

Passo 4

A equação então passa a ser:

Q = B H 3 2 g 1 2

Ou:

Q = B H 3 g

E essa equação é homogênea, já que o lado direito tem mesma dimensão que o esquerdo.

Resposta

Q = B H 3 g

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