27. Ar em um conjunto cilindro-pistão é modelado como um gás ideal passa por dois processos internamente reversíveis em série do estado 1, onde T1=290 K e p1=1 bar.
-Processo 1-2: compressão até p2=5 bar, durante a qual pV1,19=constante
-Processo 2-3: expansão isentrópica até p3=1 bar
A) Esboce os dois processos em série em coordenadas T-s.
B) Determine a temperatura no estado 2, em K.
C) Determine o trabalho líquido, em kJ/kg.
Passo 1
A)
Plotando o gráfico T-S:
Passo 2
Antes de iniciar a questão B e a C, você deve atribuir as considerações para o processo, que serão úteis para as questões B e C. Com base no enunciado, pode-se considerar que o processo ocorre em um sistema fechado, pois o gás está contido dentro do conjunto cilindro-pistão, não há saída e nem entrada de gás no sistema. Além disso, é dito que o gás pode ser considerado um gás ideal e os processos ocorrem internamente reversíveis.
Assim, as considerações que podem ser feitas acerca do processo é:
-Processo internamente reversível;
-Sistema fechado;
-Modelo de gás ideal para o ar;
-Variações de energia cinética e potencial desprezíveis;
Passo 3
B)
Resolvendo a questão B, precisamos achar a T2. Tem-se pelas informações do enunciado a temperatura e a pressão no estado 1 e pressão do estado 2. Com esses dados já é possível encontrar o valor da temperatura, mas precisamos de uma expressão matemática que relaciona essas variáveis.
Vale lembrar que para gases ideais, existem muitas relações matemáticas entre pressão, temperatura e volume. No enunciado foi apresentado uma dessas relações.
Essa equação é uma equação usada quando o processo é politrópico.
Essa equação aplicada a dois estados fica assim
Para deixar a expressão acima com uma relação apenas de pressão e temperatura, você pode usar a equação da lei do gás ideal.
Substituindo essa relação do volume
O termo da constante dos gases ideais se anula na equação acima e passando os termos de temperatura para um lado e da pressão para o outro lado, a equação fica assim
Explicitando a temperatura T2, tem-se
Agora basta substituir os valores.
Passo 4
Continuando na questão, vamos aplicar os valores e encontrar o valor para T2
Passo 5
C)
Na questão C, é preciso determinar o trabalho líquido do processo. O trabalho líquido é o trabalho total, que nesse caso é a soma do trabalho no processo 1-2 com o trabalho no processo 2-3.
Logo, para cada processo você tem que encontrar o trabalho. Em cada um dos processos, o trabalho será encontrado de maneira diferente, pois são processos diferentes. O processo 1-2 é um processo de compressão politrópico e o processo 2-3 é um processo de expansão isentrópica, com entropia constante.
Passo 6
Determinando o trabalho W12:
Como o processo 1-2 se trata de uma compressão politrópica, então a estratégia será usar a equação geral do trabalho de expansão e compressão, que é a seguinte
Sabe-se que para um processo politrópico de um gás ideal a relação entre pressão e volume é
Assim,
Substituindo na integral,
Resolvendo a integral, tem-se que
A variável cte, pode ser relacionada com a expressão original aplicada a dois estados
Assim, substituindo
Usando as propriedades de potenciação o termo n na equação acima se anulará, ficando a equação acima simplificada como
Colocando em função da temperatura, pela lei do gás ideal
Substituindo,
Aqui R é a constante dos gases ideais por mol, que vale 8,314 kJ/mol K, mas no problema pediu em kJ por kg, então para transformar mol em kg basta usar a massa molar do ar, que é
Com todos os valores conhecidos, basta aplica-los na equação de W12 para obter seu valor
Passo 7
Determinando o trabalho W23:
O processo 2-3 se trata de um processo isentrópico, ou seja, não há calor transferido nesse tipo de processo, pois conforme a relação de calor e entropia segundo a equação abaixo
Então, como não há variação de entropia no processo, não há calor transferido. Assim, para o trabalho nesse processo, pode-se usar a equação do balanço de energia para sistemas fechados
Pelas considerações, as variações de energia cinética e potencial são desprezíveis e o calor é nulo, então
As energias internas podem ser encontradas em tabelas de dados para o ar.
-Estado 2
Para determinar a energia interna no estado 2, como o ar foi modelado coo gás ideal, logo basta usar a temperatura T2=375 K e encontrar o valor de U2 em alguma tabela.
Pela Tabela A-22 do livro Shapiro-Princípios da Termodinâmica, 7ª Edição:
-Estado 3
Para esse caso, não temos o valor da temperatura, mas podemos encontrar a energia interna a partir da entropia.
A variação de entropia de um estado a outro pode ser encontrada pela expressão abaixo
Como o processo 2-3 é isentrópico, então S3=S2, assim
Pela Tabela A-22 do livro Shapiro-Princípios da Termodinâmica, 7ª Edição:
Aplicando os valores
Com o valor de , é possível determinar a U3 pela tabela.
Pela Tabela A-22 do livro Shapiro-Princípios da Termodinâmica, 7ª Edição:
Agora basta aplicar os valores de U2 e U3 na equação de W23
Passo 8
Calculando o trabalho líquido.
Aplicando os valores
Resposta
B) T2 =375 K
C) WLíquido=-29,17 kJ/kg