Enunciado

27. Ar em um conjunto cilindro-pistão é modelado como um gás ideal passa por dois processos internamente reversíveis em série do estado 1, onde T1=290 K e p1=1 bar.

-Processo 1-2: compressão até p2=5 bar, durante a qual pV1,19=constante

-Processo 2-3: expansão isentrópica até p3=1 bar

A) Esboce os dois processos em série em coordenadas T-s.

B) Determine a temperatura no estado 2, em K.

C) Determine o trabalho líquido, em kJ/kg.

Passo 1

A)

Plotando o gráfico T-S:

Passo 2

Antes de iniciar a questão B e a C, você deve atribuir as considerações para o processo, que serão úteis para as questões B e C. Com base no enunciado, pode-se considerar que o processo ocorre em um sistema fechado, pois o gás está contido dentro do conjunto cilindro-pistão, não há saída e nem entrada de gás no sistema. Além disso, é dito que o gás pode ser considerado um gás ideal e os processos ocorrem internamente reversíveis.

Assim, as considerações que podem ser feitas acerca do processo é:

-Processo internamente reversível;

-Sistema fechado;

-Modelo de gás ideal para o ar;

-Variações de energia cinética e potencial desprezíveis;

Passo 3

B)

Resolvendo a questão B, precisamos achar a T2. Tem-se pelas informações do enunciado a temperatura e a pressão no estado 1 e pressão do estado 2. Com esses dados já é possível encontrar o valor da temperatura, mas precisamos de uma expressão matemática que relaciona essas variáveis.

Vale lembrar que para gases ideais, existem muitas relações matemáticas entre pressão, temperatura e volume. No enunciado foi apresentado uma dessas relações.

p V 1,19 = c o n s t a n t e

Essa equação é uma equação usada quando o processo é politrópico.

Essa equação aplicada a dois estados fica assim

p 1 V 1 1,19 = p 2 V 2 1,19

Para deixar a expressão acima com uma relação apenas de pressão e temperatura, você pode usar a equação da lei do gás ideal.

p V = R T

V = R T p

Substituindo essa relação do volume

p 1 R T 1 p 1 1,19 = p 2 R T 2 p 2 1,19

O termo da constante dos gases ideais se anula na equação acima e passando os termos de temperatura para um lado e da pressão para o outro lado, a equação fica assim

p 2 p 1 1,19 - 1   = T 2 T 1 1,19

Explicitando a temperatura T2, tem-se

T 2 = T 1 p 2 p 1 1,19 - 1 1,19

Agora basta substituir os valores.

Passo 4

Continuando na questão, vamos aplicar os valores e encontrar o valor para T2

T 2 = 290   K 5,0   b a r 1,0   b a r 1 , 19 - 1 1,19 = 375 , 0   K

Passo 5

C)

Na questão C, é preciso determinar o trabalho líquido do processo. O trabalho líquido é o trabalho total, que nesse caso é a soma do trabalho no processo 1-2 com o trabalho no processo 2-3.

W L i q u i d o = W 12 + W 23

Logo, para cada processo você tem que encontrar o trabalho. Em cada um dos processos, o trabalho será encontrado de maneira diferente, pois são processos diferentes. O processo 1-2 é um processo de compressão politrópico e o processo 2-3 é um processo de expansão isentrópica, com entropia constante.

Passo 6

Determinando o trabalho W12:

Como o processo 1-2 se trata de uma compressão politrópica, então a estratégia será usar a equação geral do trabalho de expansão e compressão, que é a seguinte

W 12 = ∫ 1 2 p d V

Sabe-se que para um processo politrópico de um gás ideal a relação entre pressão e volume é

p V n = c o n s t a n t e = c t e

Assim,

p = c t e V n

Substituindo na integral,

W 12 = ∫ 1 2 c t e V n d V

Resolvendo a integral, tem-se que

W 12 = c t e ( V 2 1 - n - V 1 1 - n )   1 - n  

A variável cte, pode ser relacionada com a expressão original aplicada a dois estados

c t e = p 1 V 1 n = p 2 V 2 n

Assim, substituindo

W 12 = p 2 V 2 n V 2 1 - n - p 1 V 1 n V 1 1 - n )   1 - n

Usando as propriedades de potenciação o termo n na equação acima se anulará, ficando a equação acima simplificada como

W 12 = p 2 V 2 - p 1 V 1 1 - n

Colocando em função da temperatura, pela lei do gás ideal

p V = R T

V = R T p

Substituindo,

W 12 = R T 2 - R T 1 1 - n

Aqui R é a constante dos gases ideais por mol, que vale 8,314 kJ/mol K, mas no problema pediu em kJ por kg, então para transformar mol em kg basta usar a massa molar do ar, que é

M M a r = 29,0 k g m o l

R = 8,314 k J m o l   K 29,0 k g m o l = 0,2867 k J k g   K

Com todos os valores conhecidos, basta aplica-los na equação de W12 para obter seu valor

W 12 = 0,2867 k J k g K 375 - 290 K 1 - 1,19 = - 128,39 k J k g

Passo 7

Determinando o trabalho W23:

O processo 2-3 se trata de um processo isentrópico, ou seja, não há calor transferido nesse tipo de processo, pois conforme a relação de calor e entropia segundo a equação abaixo

Q = ∫ 1 2 T d S

Então, como não há variação de entropia no processo, não há calor transferido. Assim, para o trabalho nesse processo, pode-se usar a equação do balanço de energia para sistemas fechados

m ( ∆ U + ∆ E K + ∆ E P ) = Q - W

Pelas considerações, as variações de energia cinética e potencial são desprezíveis e o calor é nulo, então

W = - m ∆ U

W 23 = - m ( U 3 - U 2 )

As energias internas podem ser encontradas em tabelas de dados para o ar.

-Estado 2

Para determinar a energia interna no estado 2, como o ar foi modelado coo gás ideal, logo basta usar a temperatura T2=375 K e encontrar o valor de U2 em alguma tabela.

Pela Tabela A-22 do livro Shapiro-Princípios da Termodinâmica, 7ª Edição:

U 2 = 268,08 k J k g

-Estado 3

Para esse caso, não temos o valor da temperatura, mas podemos encontrar a energia interna a partir da entropia.

A variação de entropia de um estado a outro pode ser encontrada pela expressão abaixo

∆ S = S 3 - S 2 = S ° T 3 - S ° T 2 - R l n p 3 p 2  

Como o processo 2-3 é isentrópico, então S3=S2, assim

S ° T 3 = S ° T 2 - R   l n p 3 p 2  

Pela Tabela A-22 do livro Shapiro-Princípios da Termodinâmica, 7ª Edição:

S ° 375   K = 1,92657 k J k g K

Aplicando os valores

S ° T 3 = 1,92657 k J k g   K - 0,2867 k J k g   K ln ⁡ 1 5 = 1,465 k J k g   K

Com o valor de S ° T 3 , é possível determinar a U3 pela tabela.

Pela Tabela A-22 do livro Shapiro-Princípios da Termodinâmica, 7ª Edição:

U 3 = 168,86 k J k g

Agora basta aplicar os valores de U2 e U3 na equação de W23

W 23 m = - 168,86 - 268,08 k J k g = 99,22 k J k g

Passo 8

Calculando o trabalho líquido.

W L i q u i d o = W 12 + W 23

Aplicando os valores

W L i q u i d o = - 128,39 k J k g + 99,22 k J k g = - 29,17 k J k g

Resposta

B) T2 =375 K

C) WLíquido=-29,17 kJ/kg

Ver Outros Exercícios desse livro