Enunciado

81. Um tanque rígido cujo volume é desconhecido está dividido em duas partes por uma partição. Um dos lados do tanque contém um gás ideal, a 927 °C. O outro lado está evacuado e tem um volume que equivale a duas vezes o tamanho da parte que contém o gás. A partição é então removida e o gás expande-se, preenchendo todo o tanque. Calor é transferido ao gás até que a pressão seja igual à pressão inicial. Determine a temperatura final do gás.

Passo 1

A questão quer saber quanto vale a temperatura final do gás T 2 , depois que ele se expande e ganha calor. O gás se expande e se aquece até a pressão final P 2 ficar igual à pressão inicial P 1 . A figura abaixo mostra o estado do gás antes da expansão e do aquecimento (estado 1) e depois da expansão e do aquecimento (estado 2).

V 1 é o volume inicial que o gás ocupa e V 2 é o volume final que o gás ocupa. T 1 é a temperatura inicial do gás.

Para descobrir quanto vale T 2 , teremos que usar a equação de gás ideal para o estado 1 e para o estado 2.

P 1 ⋅ V 1 = n ⋅ R ⋅ T 1

P 2 ⋅ V 2 = n ⋅ R ⋅ T 2

onde n é o número de mols de gás presente no tanque. O número de mols não muda, porque não entra gás nem sai gás do tanque durante o aquecimento e a expansão.

R é a constante universal dos gases.

No próximo passo aprenderemos a usar essas equações para calculat T 2 .

Passo 2

Como n e R da equação de gás ideal são constantes, podemos rearranjas essas equações e criar uma relação entre elas.

P 1 ⋅ V 1 = n ⋅ R ⋅ T 1       ⟹       P 1 ⋅ V 1 T 1 = n ⋅ R = c o n s t a n t e

P 2 ⋅ V 2 = n ⋅ R ⋅ T 2       ⟹       P 2 ⋅ V 2 T 2 = n ⋅ R = c o n s t a n t e

Substituindo o valor de n ⋅ R da primeira equação na segunda equação, obtemos uma nova relação.

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2

Além disso, o enunciado diz que, ao expandir, o gás passa a ocupar o espaço vazio. Como o espaço vazio tem o dobro de volume do espaço inicial V 1 , achamos que V 2 vale:

V 2 = V 1 + 2 V 1 = 3 V 1

Logo:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2       ⟹       P 1 V 1 T 1 = P 2 ⋅ 3 ⋅ V 1 T 2       ⟹       P 1 T 1 = P 2 ⋅ 3 T 2

Lembrando que a pressão final do sistema P 2 é igual a pressão inicial P 1 , podemos cortar P 2 e P 1 da equação acima.

1 T 1 = 3 T 2       ⟹       T 2 = 3 T 1

Substituindo os dados na fórmula de T 2 acima, conseguimos obter o valor dessa temperatura final.

Cuidado! Antes de substituir T 1 na fórmula, temos que converter T 1 de ° C para kelvin K .

T 2 = 3 T 1       ⟹       T 2 = 3 ⋅ 927 + 273 K       ⟹       T 2 = 3600   K

T 2 = 3327 ° C

Resposta

T 2 = 3327 ° C

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