Enunciado

O ar que escoa em regime permanente em um bocal passa por um choque normal a um número de Mach igual a 2,5 . Considerando que a pressao e a temperatura do ar correspondem respectivamente a 10,0   p s i a e 440,5   R a montante do choque, calcule a pressão, temperatura, velocidade, o número de Mach e a pressão de estagnação a jusante do choque. Compare esses resultados com aqueles obtidos para o hélio que passa por um choque normal nas mesmas condições.

Passo 1

Vamos lá! A questão nos afirma que o ar que flui através de um bocal sofre um choque normal. O efeito da onda de choque em várias propriedades deve ser determinado. A análise deve ser repetida para o hélio.

Podemos representar como,

Assumindo que:

  1. O ar é um gás ideal com aquecimento específico constante.
  2. O fluxo através do bico é constante, unidimensional e isentrópico antes que o choque ocorra.

As propriedades do ar são k   =   1.4 e R   =   0.06855 B t u l b m ∙ R   , e as propriedades do hélio são k   =   1.667 e R   = 0.4961 B t u l b m ∙ R   .

Passo 2

Pronto já temos todas as informações necessárias, vamos para a análise. Desse modo temos que

as propriedades do ar a montante do choque são

M a 1 = 2.5 ,       P 1 = 10   p s i a ,   e   T 1 = 440.5   R

As propriedades do fluido após o choque (indicadas pelo subscrito 2) estão relacionadas com as propriedades anteriores ao choque através das funções da Tabela A-33. Para M a 1   =   2.5 ,

M a 2 = 0.513 ,     P 02 P 1 = 8.5262 ,     P 2 P 1 = 7.125 ,         e     T 2 T 1 = 2.1375

Em seguida, a pressão de estagnação P 02 , a pressão estática P 2 , e a temperatura estática T 2 , são determinadas como sendo

P 02   =   8.5262 P 1   =   ( 8.5262 ) ( 10   p s i a )   =   85.3   p s i a

P 2   =   7.125 P 1   =   ( 7.125 ) ( 10   p s i a )   =   71.3   p s i a

T 2   =   2.1375 T 1   =   ( 2.1375 ) ( 440.5   R )   =   942   R

Passo 3

Desse modo, temos também que a velocidade do ar após o choque pode ser determinada a partir de V 2   =   M a 2 c 2 , onde c 2 é a velocidade do som nas condições de saída após o choque,

V 2 = M a 2 c 2 = M a 2 k R T 2 = 0.513 1.4 0.06855 B t u l b m ∙ R 941.6   R 25,037 f t 2 / s 2   1 B t u l b m ∙ R

V 2 = 772   f t / s

Passo 4

Repetimos agora a análise para o hélio. Desta vez não podemos usar os valores tabulados na Tabela A-33 já que   k não é 1.4 . Portanto, temos que calcular as quantidades desejadas usando as relações analíticas,

M a 2 = M a 1 2 + 2 k - 1 2 M a 1 2 k / k - 1 - 1 1 / 2 = 2.5 2 + 2 1.667 - 1 2 × 2.5 2 × 1.667 1.667 - 1 - 1 1 / 2 = 0.553

P 2 P 1 = 1 + k M a 1 2 1 + k M a 2 2 = 1 + 1.667 × 2.5 2 1 + 1.667 × 0.553 2 = 7.5632

T 2 T 1 = 1 + M a 1 2 ( k - 1 ) / 2 1 + M a 2 2 ( k - 1 ) / 2 = 1 + 2.5 2 ( 1.667 - 1 ) / 2 1 + 0.553 2 ( 1.667 - 1 ) / 2 = 2.7989

P 02 P 1 =   1 + k M a 1 2 1 + k M a 2 2 1 + k - 1 M a 2 2 k / ( k - 1 )   = 1 + 1.667 × 2.5 2 1 + 1.667 × 0.553 2 1 + 1.667 - 1 × 0.553 2 2 1.667 / 0.667 = 9.641

Então

P 02   =   11.546 P 1   =   ( 11.546 ) ( 10   p s i a )   =   115   p s i a

P 2   =   7.5632 P 1   =   ( 7.5632 ) ( 10   p s i a )   =   75.6   p s i a

T 2   =   2.7989 T 1   =   ( 2.7989 ) ( 440.5   R )   =   1233   R

V 2 = M a 2 c 2 = M a 2 k R T 2 = 0.553 1.667 0.4961 B t u l b m ∙ R 1232.9   R 25,037 f t 2 / s 2 1 B t u l b m ∙ R

V 2 = 2794   f t / s

Note que, este problema também poderia ser resolvido utilizando as relações de fluxo compressivo e as funções de choque normal. Os resultados seriam idênticos.

Resposta

0.513

85.3   p s i a

71.3   p s i a

942   R

772   f t / s

0.553

115   p s i a

75.6   p s i a

1233   R

2794   f t / s

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