Enunciado

Uma bomba cuja eficiência é de 80 % e a potência de entrada corresponde a 20   h p está bombeando água a partir de um lago para um reservatório próximo a uma taxa de 1,5   p é s 3 / s por um tubo de diâmetro constante. A superfície livre do reservatório está a 80   p é s acima do lago. Determine a potência mecânica utilizada para superar os efeitos de atrito na tubulação.

Passo 1

A questão fala sobre uma bomba que recebe 20   h p de potência W ˙ b o m b a e converte essa potência em dois tipos de taxa de energia com uma eficiência de 80 % η b o m b a . Um dos tipos é a taxa de energia que a água precisa para vencer o atrito das tubulações W ˙ a t r i t o e o outro tipo é a taxa de energia que a água precisa para variar sua energia potencial gravitacional Δ E ˙ m e c . O exercício que saber justamente quanto vale W ˙ a t r i t o .

Para calcular esse valor, vamos precisar dos dados mostrados pela figura abaixo.

O taxa de energia necessária pra vencer o atrito W ˙ a t r i t o é igual à taxa de energia que a bomba recebe e converte em energia útil para água W ˙ b o m b a , ú t i l menos a taxa de energia que a água precisa receber para variar sua energia potencial gravitacional Δ E ˙ m e c .

W ˙ a t r i t o = W ˙ b o m b a , ú t i l - Δ E ˙ m e c

Mas W ˙ b o m b a , ú t i l é a taxa de energia que a bomba recebe W ˙ a t r i t o multiplicada pela eficiência da bomba η b o m b a .

W ˙ b o m b a , ú t i l = W ˙ b o m b a ⋅ η b o m b a

W ˙ b o m b a = 20   h p

Δ E ˙ m e c será calculado no passo a seguir.

Passo 2

A variação de energia potencial gravitacional Δ E ˙ m e c pode ser calculada com a fórmula abaixo.

Δ E ˙ m e c = m ˙ ⋅ g ⋅ Δ z

onde g é a aceleração da gravidade da Terra que vale 32 , 2   p é s / s 2 , Δ z é a variação de altura da água do lago pro reservatório mais alto e m ˙ é a vazão mássica de água.

O valor de Δ z é mostrado na figura. Quando a água se desloca do ponto 1 para o ponto 2 , ela se eleva em 80   p é s .

Δ z = 80   p é s

m ˙ precisa ser calculado a partir da vazão volumétrica da água V ˙ dada pelo enunciado. Convertemos V ˙ em m ˙ , multiplicando V ˙ pela densidade da água ρ .

m ˙ = ρ ⋅ V ˙

A vazão volumétrica da água V ˙ é dada pela questão.

V ˙ = 1,5   p é 3 / s

Atenção! O exercício não fala quanto vale o ρ da água líquida a temperatura ambiente. Mas podemos considerar que ele vale 62 , 4   l b m p é s 3 em unidades inglesas!

ρ = 62 , 4   l b m p é s 3

Com essas unidades, o valor de Δ E ˙ m e c será encontrado em l b m ⋅ p é s 2 / s 3 . Para converter esse valor para h p , temos que dividí-lo por 17695,7 .

Pronto! Já temos todas as informações necessárias para calcular W ˙ a t r i t o . Então vamos iniciar as contas no próximo passo.

Passo 3

Iniciamos o cálculo de Δ E ˙ m e c a partir da vazão mássica de água m ˙ que passa pela bomba.

m ˙ = ρ ⋅ V ˙       ⟹       m ˙ = 62 , 4 ⋅ 1,5       ⟹       m ˙ = 93,6   l b m / s

Com esse valor, podemos achar Δ E ˙ m e c .

Δ E ˙ m e c = m ˙ ⋅ g ⋅ Δ z       ⟹       Δ E ˙ m e c = 93,6 ⋅ 32 , 2 ⋅ 8 0       ⟹       Δ E ˙ m e c = 241113 , 6   l b m ⋅ p é s 2 s 3

Convertendo Δ E ˙ m e c para h p , o valor vira:

Δ E ˙ m e c = 241113 , 6 17695,7       ⟹       Δ E ˙ m e c = 13,63   h p

Só falta calcular W ˙ b o m b a , ú t i l para calcular W ˙ a t r i t o .

W ˙ b o m b a , ú t i l = W ˙ b o m b a ⋅ η b o m b a       ⟹       W ˙ b o m b a , ú t i l = 20 ⋅ 0,8       ⟹       W ˙ b o m b a , ú t i l = 16   h p

Substituindo Δ E ˙ m e c na fórmula de W ˙ a t r i t o :

W ˙ a t r i t o = W ˙ b o m b a , ú t i l - Δ E ˙ m e c       ⟹       W ˙ a t r i t o = 16 - 13,63       ⟹       W ˙ a t r i t o = 2,37   h p

Resposta

W ˙ a t r i t o = 2,37   h p

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