Enunciado

Uma bomba de óleo consome 35   k W de potência elétrica para bombear óleo com ρ = 860   k g / m 3 a uma vazão de 0,1   m 3 / s . Os diâmetros dos tubos de entrada e saída são de 8   c m e de 12   c m , respectivamente. Considerando que o aumento da pressão do óleo na bomba e de 400   k P a e a eficiência do motor corresponde a 90 % , determine a eficiência mecânica da bomba.

Passo 1

O enunciado fala sobre duas de transformações de energia. A primeira transformação é feita pelo motor. Ele transforma 35   k W de energia elétrica que ela recebe W ˙ e l é t r i c a em potência de giro do eixo W ˙ b o m b a , e i x o com uma eficiência de 90 % η m o t o r = 0,9 . A segunda transformação é feita pela bomba. Ela recebe a potência de giro do eixo W ˙ b o m b a , e i x o e transforma em energia mecânica do óleo Δ E ˙ m e c , f l u i d o . O exercício quer saber a eficiência da segunda transformação feita pela bomba η b o m b a .

A fórmula de eficiência da bomba é mostrada abaixo:

η b o m b a = Δ E ˙ m e c , f l u i d o W ˙ b o m b a , e i x o

W ˙ b o m b a , e i x o é a potência de giro do eixo. Ela é o resultado da primeira transformação de energia. Por isso, ela é igual à potência elétrica que o motor recebeu W ˙ e l é t r i c o multiplicada pela eficiência dessa transformação de energia η b o m b a .

η m o t o r = W ˙ b o m b a , e i x o W ˙ e l é t r i c a       ⟹       W ˙ b o m b a , e i x o = W ˙ e l é t r i c a ⋅ η m o t o r

Só falta aprender a calcular a variação de energia mecânica do óleo para calcular a eficiência da bomba η b o m b a . Vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 2

A bomba varia a energia mecânica do óleo de duas formas: diminuindo sua energia cinética e aumentando sua energia através da pressão. Ou seja, Δ E ˙ m e c , f l u i d o é a soma desses dois fatores.

Δ E ˙ m e c , f l u i d o = m ˙ ⋅ V 2 2 - V 1 2 2 ⏟ d i m i n u i ç ã o   d e   e n e r g i a c i n é t i c a + m ˙ ⋅ Δ P ρ ⏟ a u m e n t o   d e e n e r g i a   p o r p r e s s ã o

Nessa equação, m ˙ é a vazão mássica do óleo. V 2 é a velocidade do óleo depois de ser bombeado. V 1 é a velocidade do óleo antes de ser bombeado. Δ P é a variação de pressão do óleo através da bomba. E ρ é densidade do óleo. O enunciado fala diretamente o valor de ρ e Δ P .

Δ P = 400   k P a       ⟹       Δ P = 400 000   P a

ρ = 860   k g / m 3

Atenção! Δ P foi dado em quilopascal k P a ! Precisamos converter para pascal P a para a variação de energia relacionada à pressão ficar em watt W igual a variação de energia cinética!

A questão informa o valor das variáveis m ˙ , V 2 e V 1 indiretamente. As três são calculadas através da vazão volumétrica de óleo V ˙ que é dada pelo enunciado.

V ˙ = 0,1   m 3 / s

m ˙ = ρ ⋅ V ˙

V 1 = V ˙ A 1       ⟹       V 1 = V ˙ π ⋅ D 1 2 4

V 2 = V ˙ A 2       ⟹       V 2 = V ˙ π ⋅ D 2 2 4

A 1 é a área da tubulação de sucção da bomba. O diâmetro D 1 dessa tubulação vale 8   c m . A 2 é a área da tubulação de descarga da bomba. O diâmetro D 2 dessa tubulação vale 12   c m .

D 1 = 8   c m       ⟹       D 1 = 0,0 8   m

D 2 = 12   c m       ⟹       D 2 = 0,12   m

Agora que temos todas as informações que precisamos, vamos calcular η b o m b a no passo seguinte.

Passo 3

A potência de giro do eixo W ˙ b o m b a , e i x o vale:

W ˙ b o m b a , e i x o = W ˙ e l é t r i c a ⋅ η m o t o r     ⟹     W ˙ b o m b a , e i x o = 35 ⋅ 0,9     ⟹     W ˙ b o m b a , e i x o = 31,5   k W

Para calcular Δ E ˙ m e c , f l u i d o precisamos calcular primeiro m ˙ .

m ˙ = ρ ⋅ V ˙       ⟹       m ˙ = 860 ⋅ 0,1       ⟹       m ˙ = 86   k g / s

Em segundo lugar, precisamos calcular as velocidades do óleo.

V 1 = V ˙ π ⋅ D 1 2 4       ⟹       V 1 = 0,1 π ⋅ 0,08 2 4       ⟹       V 1 = 19 , 89   m / s

V 2 = V ˙ π ⋅ D 2 2 4       ⟹       V 2 = 0,1 π ⋅ 0,12 2 4       ⟹       V 2 = 8 , 84   m / s

Por fim, podemos calcular Δ E ˙ m e c , f l u i d o .

Δ E ˙ m e c , f l u i d o = m ˙ ⋅ V 2 2 - V 1 2 2 + m ˙ ⋅ Δ P ρ

Δ E ˙ m e c , f l u i d o = 86 ⋅ 8 , 84 2 - 19 , 89 2 2 + 86 ⋅ 400000 860

Δ E ˙ m e c , f l u i d o = 26348 , 94   W

Atenção! Como o W ˙ b o m b a , e i x o está em quilowatt k W , precisamos converter Δ E ˙ m e c , f l u i d o para k W também!

Δ E ˙ m e c , f l u i d o = 26 , 35   W

Agora podemos achar o valor da eficiência bomba.

η b o m b a = Δ E ˙ m e c , f l u i d o W ˙ b o m b a , e i x o       ⟹       η b o m b a = 26,35 31,5       ⟹       η b o m b a = 0,84

Resposta

η b o m b a = 0,84

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