Enunciado

Um cilindro provido de um êmbolo móvel contém uma certa quantidade de ar. Inicialmente, a pressão do ar é 2   x   10 7   N ⋅ m - 2 , o volume é 0,5   m 3 e a temperatura é 300   K . Suponha que o ar seja um gás ideal. (a) Qual é o volume final do ar se ele se expande isotermicamente até uma pressão de 1 ⋅ 10 7   N ⋅ m 2 , sendo que o êmbolo se move para fora para permitir o aumento de volume do ar? (b) Qual sera a temperatura final do ar se o êmbolo permanecer fixo em sua posição inicial e o sistema for resfriado até que a pressão seja de 1 ⋅ 10 7   N ⋅ m - 2 ? (c) Quais são a temperatura e o volume finais do ar, se ele se expande isotermicamente das condições iniciais até a pressão de 1,5 ⋅ 10 7   N ⋅ m - 2 e, então, ele é resfriado a volume cons- tante até que a pressao seja de 1 ⋅ 10 7   N ⋅ m - 2 ? (d) Quais são a temperatura e o volume finais do ar, se um resfriamento isocórico até 1,5 ⋅ 10 7   N ⋅ m - 2 e seguido por uma expansão isotérmica até 1 ⋅ 10 7   N ⋅ m - 2 ? (e) Faça um gráfico destes processos em um diagrama T - V .

Passo 1

Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.

Nesse exercício temos alguns processos do ar em uma seringa e ele quer algumas informações sobre isso. Vamos ver como fica cada uma dessas situações.

Passo 2

Primeiro ele quer o volume em uma expansão isotérmica. Assim vamos ter a equação geral dos gases

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2

Como é uma expansão isotérmica, temos que T 1 = T 2 . Assim, a equação fica

P 1 V 1 = P 2 V 2

Como ele quer o volume final, ele quer o V 2 . Então isolando ele, temos

V 2 = P 1 V 1 P 2

Substituindo os valores, temos

V 2 = 2 ⋅ 10 7 ⋅ 0,5 1 ⋅ 10 7 = 1 m 3

Passo 3

Agora queremos a temperatura final se o volume ficar constante. Novamente vemos a equação geral dos gases. Como o volume é constante, vamos ter V 1 = V 2 . Então a equação fica

P 1 T 1 = P 2 T 2

Isolando T 2 temos

T 2 = P 2 T 1 P 1 = 1 ⋅ 10 7 ⋅ 300 2 ⋅ 10 7 = 150 K

Passo 4

Nessa questão temos dois processos, então vamos dividir pra não fazer confusão.

O primeiro processo é uma expansão isotérmica das condições iniciais até uma pressão de 1,5 ⋅ 10 7   N / m 2 . Então vamos calcular qual é o volume atingido nesse primeiro processo. Pela equação geral e considerando que isotérmico quer dizer que a temperatura é constante, temos

P 1 V 1 = P 2 V 2

Isolando V 2 temos

V 2 = P 1 V 1 P 2 = 2 ⋅ 10 7 ⋅ 0,5 1,5 ⋅ 10 7 = 0,67   m 3

O segundo processo é resfriar a volume constante. Uma informação importante que agora a pressão é P 1 = 1,5 ⋅ 10 7   N / m 2 e não mais 1 ⋅ 10 7   N / m 2 , que vai ser a pressão final P 2 . A equação então vai ficar

P 1 T 1 = P 2 T 2

Isolando T 2 temos

T 2 = P 2 T 1 P 1 = 1 ⋅ 10 7 ⋅ 300 1,5 ⋅ 10 7 = 200 K

Passo 5

Agora o gráfico dessas transformações em um diagrama T - V .

O gráfico das letras a e ( b ) estão representadas na imagem a seguir

Para a letra ( c ) já temos

Mais um problema feito. Bora pra mais um?

Resposta

a V 2 = 1   m 3

b T 2 = 150 K

c V 2 = 0,67   m 3   e   T 2 = 200 K

d