Enunciado

Considere uma bomba térmica de Carnot constituída por um conjunto cilindro-pistão. O fluido de trabalho é nitrogênio e o conjunto contém 1   k g desta substância. Esta bomba opera entre reservatórios térmicos que apresentam temperaturas iguais a 400   K e 300   K . No início do processo de transferência de calor a baixa temperatura, a pressão é 1   M P a e, durante este processo, o volume é triplicado. Analise cada um dos quatro processos do ciclo e determine:

  1. A pressão, volume e temperatura em cada ponto.
  2. O trabalho e o calor transferido em cada um dos processos.

Passo 1

Opa, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Aqui temos um ciclo termodinâmico clássico, o ciclo de Carnot. No item a, queremos a pressão, volume e temperatura em cada ponto. Sabemos que o ciclo de Carnot possui 4 pontos.

Temos o processo 1 → 2 que corresponde a uma expansão isotérmica:

p 2 V 2 = p 1 V 1

p 2 = p 1 V 1 V 2

Nos foi dito que:

V 2 = 3 V 1

Logo:

p 2 = 1 1 3

p 2 = 0,333   M P a

Passo 2

O volume no estado 1 pode ser encontrado a partir da equação do gás ideal:

V 1 = m R T 1 p 1

V 1 = 1 ( 0,2968 ) ( 300 ) 10 3

V 1 = 0,08904   m 3

Como o volume no estado 2 é o triplo do volume no estado 1 , temos que:

V 2 = 0,26712   m 3

Passo 3

Analisando agora o processo isentrópico 2 → 3 , temos que:

p 3 p 2 = T 3 T 2 k k - 1

A pressão no estado 3 será:

p 3 = 0,333 400 300 1,4 1,4 - 1

p 3 = 0,9121   M P a

Temos também que:

V 3 = V 2 p 2 p 3 T 3 T 2

Logo:

V 3 = 0,26712 0,333 0,9123 400 300

V 3 = 0,1301   m 3

Passo 4

A pressão no estado 4 é dada a partir do processo isentrópico 4 → 1 :

p 4 = p 1 T 4 T 1 k k - 1

p 4 = 1 400 300 1,4 1,4 - 1

p 4 = 2,7371   M P a

O volume no estado 4 é dado por:

V 4 = V 1 p 1 p 4 T 4 T 1

V 4 = 0,08904 1 2,7371 400 300

V 4 = 0,04337   m 3

Passo 5

O item b, nos pede o trabalho e o calor transferido em cada processo.

Vamos analisar o processo isentrópico 2 → 3 , temos que:

W 2 → 3 = - m C v T 3 - T 2

W 2 → 3 = - 1 0,745 400 - 300

W 2 → 3 = - 74,5   k J

Durante o processo isentrópico a transferência de calor é nula.

Q 2 → 3 = 0

Analisando o processo isotérmico 3 → 4 , temos que:

W 3 → 4 = Q 3 → 4 = m R T 3 ln ⁡ p 3 p 4

Logo:

W 3 → 4 = 1 0,2968 400 ln ⁡ 0,9123 2,737

W 3 → 4 = Q 3 → 4 = - 130,43   k J

Como os processos são simétricos, temos que:

W 1 → 2 = - W 3 → 4 = 130,43   k J

Q 1 → 2 = - Q 3 → 4 = 130 , 43   k J

E:

W 4 → 1 = - W 2 → 3 = 74,5   k J

Q 4 → 1 = - Q 2 → 3 = 0

Resposta

a)

p 1 = 1   M P a

V 1 = 0,08904   m 3

T 1 = 300   K

p 2 = 0,333   M P a

V 2 = 0,26712   m 3

T 2 = 300   K

p 3 = 0,9121   M P a

V 3 = 0,1301   m 3

T 3 = 400   K

p 4 = 2,7371   M P a

V 4 = 0,04337   m 3

T 4 = 400   K

b)

W 3 → 4 = - 130,43   k J

Q 3 → 4 = 130,43   k J

W 1 → 2 = 130,43   k J

Q 1 → 2 = 130,43   k J

W 4 → 1 = 74,5   k J

W 2 → 3 = - 74,5   k J

Q 4 → 1 = Q 2 → 3 = 0

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