Enunciado

Considere um rio escoando em direção a um lago com uma velocidade média de 3 m/s a uma vazão de 500 m 3 / s em um local 90 m acima da superfície do lado. Determine a energia mecânica total da água do rio por unidade de massa e o potencial para geração de potência do rio naquele local.

Passo 1

Olá, pessoal! Esse problema é sobre um rio que é usado para produzir energia elétrica, extraindo a energia mecânica da água.

Estão prontos para fazer uma questão de energia mecânica?

A questão pede que a gente calcule dois termos. Primeiro, ela quer que a gente calcule a energia mecânica total por unidade de massa e t o t presente na água do rio. Depois ela quer que a gente calcule o potencial para geração de potência do rio (essa potência é representada por W ˙ . Ela é a taxa de energia elétrica que pode ser produzida através do rio). Ou seja, ela quer saber quanto de energia disponível tem no rio que pode ser convertida para eletricidade.

A figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular e t o t e W ˙ .

V é a velocidade média da água do rio, quando ela está a uma altitude z = 90   m . V ˙ é a vazão volumétrica de água do rio. Traduzindo, V ˙ é o volume de água que passa pelo rio a cada segundo.

Para calcular e t o t e W ˙ temos que lembrar de dois fatos. A energia total por unidade de massa do rio e t o t a l é a soma da energia cinética por unidade de massa e c com a energia potencial por unidade de massa da água e p .

Além disso, Como o gerador usa a energia da água para gerar eletricidade, a taxa máxima de energia elétrica W ˙ que ele pode produzir é igual a taxa de energia total E ˙ t o t a l presente na água.

Passo 2

Nesse passo, vamos calcular a energia total por unidade de massa do rio e t o t a l .

Ela é a soma de duas parcelas. Uma parcela é a energia cinética por unidade de massa da água e c . A outra parcela é a energia potencial por unidade de massa da água e p .

e t o t = e c + e p

Como a energia cinética por unidade de massa da água e c só existe por causa do movimento da água, podemos dizer que e c depende da velocidade V da água. A fórmula de e c em função da velocidade V se encontra abaixo. Como já conhecemos V , podemos calcular e c .

e c = V 2 2       ⟹       e c = 3 2 2     ⟹       e c = 4,5   J k g

Como a energia potencial por unidade de massa da água e p só existe por causa da altitude z da água, podemos dizer que e p depende da altitude z da água. A fórmula de e p em função da altitude z se encontra abaixo. A letra g presente na fórmula abaixo é a aceleração da gravidade. Como já conhecemos z e g , podemos calcular e p .

e p = g ⋅ z       ⟹     e p = 9,81 ⋅ 90       ⟹       e p = 882,9   J k g

Somando as duas parcelas e c e e p encontramos a energia total por unidade de massa e t o t .

e t o t = e c + e p     ⟹     e t o t = 4,5 + 882,9     ⟹     e t o t = 887,4   J k g

Passo 3

Neste passo, vamos calcular o valor da taxa máxima de energia elétrica W ˙ que pode ser produzida através da água do rio.

e t o t calculada no passo anterior é a energia contida em cada quilograma 1   k g da água no rio. A taxa de energia total E ˙ t o t da água que passa pelo rio é igual a energia por quilograma da água e t o t multiplicada pela massa de água que passa a cada segundo pelo rio m ˙ .

E ˙ t o t = m ˙ ⋅ e t o t

m ˙ também é conhecida como a vazão mássica. Ela pode ser obtida a partir da vazão volumétrica V ˙ , multiplicando V ˙ pela densidade ρ da água.

A densidade ρ da água não está presente no enunciado. No entanto, a água líquida a temperatura ambiente tem uma densidade ρ que vale aproximadamente 1000   k g / m 3 .

m ˙ = V ˙ ⋅ ρ       ⟹       m ˙ = 500 ⋅ 1000       ⟹       m ˙ = 5 00000   k g s

Substituindo esse valor na fórmula de E ˙ t o t , encontramos:

E ˙ t o t = m ˙ ⋅ e t o t       ⟹       E ˙ t o t = 5 00000 ⋅ 887,4       ⟹       E ˙ t o t = 4437 00000   W

Como o gerador usa a energia da água para gerar eletricidade, a taxa máxima de energia elétrica W ˙ que ele pode produzir é igual à taxa de energia total E ˙ t o t presente na água.

W ˙ = E ˙ t o t     ⟹     W ˙ = 4437 00000   W

Convertendo esse valor em watt W para um valor em megawatt M W , encontramos:

W ˙ = 443 , 7   M W

Resposta

e t o t = 887,4   J k g

W ˙ = 443 , 7   M W

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