Deduza as Eqs. 6.43 e 6.45, apresentando todos os passos.

Passo 1

Opa, vamos começar mais uma resolução juntos!

Então, fica de olho aí!

Começamos o nosso problema expondo que para um gás ideal em processo isentrópico, quando os calores específicos são constantes, a equação de variação de entropia a pressão constante é dada por:

∆ s = c p ln ⁡ T 2 T 1 - R ln ⁡ p 2 p 1 = 0

Da mesma forma, a equação em um processo de volume constante é:

∆ s = c v ln ⁡ T 2 T 1 + R ln ⁡ v 2 v 1 = 0

Da relação de gás ideal, temos:

c p = k R k - 1

c v = R k - 1

Bora para as análises!

Passo 2

Substituindo c p na nossa equação de variação de entropia a pressão constante

k R k - 1 ln ⁡ T 2 T 1 - R ln ⁡ p 2 p 1 = 0

k k - 1 ln ⁡ T 2 T 1 = ln ⁡ p 2 p 1

Aplicando propriedades logarítmicas:

T 2 T 1 k k - 1 = p 2 p 1

T 2 T 1 = p 2 p 1 k - 1 k

Passo 3

Agora, substituindo c v na nossa equação de variação de entropia volume constante:

R k - 1 ln ⁡ T 2 T 1 + R ln ⁡ v 2 v 1 = 0

1 k - 1 ln ⁡ T 2 T 1 = - ln ⁡ v 2 v 1

Aplicando propriedades logarítmicas:

T 2 T 1 1 k - 1 = v 1 v 2

T 2 T 1 = v 1 v 2 k - 1

Passo 4

Da equação dos gases ideal, temos que:

p 1 v 1 T 1 = p 2 v 2 T 2

T 2 T 1 = p 2 v 2 p 1 v 1

Substituindo essa relação na nossa equação:

p 2 v 2 p 1 v 1 = v 1 v 2 k - 1

p 2 p 1 = v 1 v 2 k

Bem fácil né?

Até a próxima questão!

Resposta

( 6.43 )   T 2 T 1 = p 2 p 1 k - 1 k

6.45   p 2 p 1 = v 1 v 2 k

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