Enunciado

O diâmetro do pistão mostrado na Fig. P2.83 é 100   m m e sua massa é 5   k g . A mola é linear e não atua sobre o pistão enquanto este estiver encostado na superfície inferior do cilindro. No estado mostrado na figura, o volume na câmara é 0,4   L e a pressão é 400   k P a . Quanto a válvula de alimentação de ar é aberta, o pistão sobe 20   m m . Admitindo que a pressão atmosférica é igual a 100   k P a , calcule a pressão no ar nesta nova situação.

Passo 1

Com uma mola é linear, teremos uma proporção linear entre força e deslocamento. Configurando a lei de Hooke:

F = k ∙ x

Como a força da mola esta diretamente ligada com o balanço da pressão e volume. Temos que pressão e volume variam linearmente.

Teremos uma equação de reta que definirá nossa pressão:

Equação de reta:

y = a x + b

Quanto que nossa equação linear fica o seguinte:

P = V a + b

Temos que a P r e s s ã o é nosso eixo y , V o l u m e eixo x e temos que determinar o coeficiente angular a e coeficiente linear b .

Passo 2

Agora você pode estar se perguntando, beleza é linear, mas como resolvemos a questão?

Agora a pergunta da questão é quanto que é a pressão no cilindro quando o pistão sobe 20   m m . Em outras palavras, quanto que é a pressão a este volume ?

Sabendo que a nossa pressão em relação ao volume variam linearmente podemos montar o seguinte gráfico:

Para primeiro ponto do gráfico o exercício diz que a 400   k P a o volume é 0,4   L .

O segundo ponto é ponto de que desejamos determinar a pressão e podemos determinar uma coordenada deste ponto. O volume.

V 2 = 0,4   L + ( A P ∙ h P )

A p é a área do pistão e h p é a altura de 20   m m a que o pistão aumentou com abertura da válvula de ar, multiplicando área por altura temos volume:

r p = 100 m m = 100 ∙ 10 - 3   m

V 2 = 0,4 + π 4 ∙ 0.1 2 ∙ 20 = 0.557   L

Agora que temo este dois pontos podemos determinar P 2 utilizando as regras que compõem uma equação de reta.

Passo 3

Bem, vamos lá finalizando a questão.

Temos nossa equação de reta para de terminar P 2 fica:

P 2 = V 2 ∙ a + b

Para determinar o coeficiente linear b de uma reta basta zerar o nosso volume, temos que

em condições de V = 0 , nos resta apenas a pressão atmosférica e gravitacional do pistão.

b = P a t m + P p i s t ã o

Substituindo as variáveis dadas no enunciado:

Lembrando que a fórmula de pressão é:

P p i s t ã o = F A = m ∙ g A

b = 100   k P a + 5 ∙ 9,8 π 4 ∙ 0.1 2 = 106,2   k P a

Determinando o coeficiente angular:

Como coeficiente angular é a variação ou diferença entre dois pontos, Podemos fazer a diferença o ponto inicial P 0 ( 106,2 ; 0 ) com P 1 ( 400 ; 0.4 ) :

a = 400 - 106,2 0.4 - 0

Passo 4

Com todas as variáveis determinadas, podemos substituir tudo na equação e temos:

P 2 = V 2 ∙ a + b

P 2 = 0,557 ∙ 400 - 106,2 0.4 - 0 + 106,2

P 2 = 515,3165   k P a

Resposta

P 2 = 515,3165   k P a

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