Ar escoa através de um duto circular isolado com 2   c m de diâmetro. Os valores da pressão e da temperatura em regime permanente obtidos através de medições realizadas em duas posições, indicadas por 1 e 2, são dados na tabela a seguir. Admitindo o modelo de gás ideal para o ar com c p = 1,005   k J / k g ⋅ K , determine:

a) o sentido do escoamento.

b) a velocidade do ar, em m / s , nas duas posições.

c) a vazão mássica do ar, em k g / s .

Passo 1

E aí, beleza?

Vem comigo resolver essa questão!

Fica de olho para não se perder!

Letra a)

Começamos o nosso problema aplicando a equação de entropia em nosso sistema:

∑ Q i ˙ T i + m ˙ s 1 - s 2 + σ ˙ v c = 0

Como ∑ Q i ˙ T i = 0 , temos:

σ ˙ v c = m ˙ s 2 - s 1

σ ˙ v c m ˙ = s 2 - s 1

Abrindo para um gás ideal:

σ ˙ v c m ˙ = c p ln ⁡ T 2 T 1 - R ln ⁡ p 2 p 1

Substituindo os dados:

σ ˙ v c m ˙ = 1,005 ⋅ ln ⁡ 323 293 - 0,287 ⋅ ln ⁡ 500 100

σ ˙ v c m ˙ = - 0,3639   k J / k g ⋅ K

Como σ ˙ v c m ˙ deve ser sempre maior que 0, temos que o ar flui de 2 para 1.

Passo 2

Letra b)

Aplicando a equação de continuidade:

m ˙ 1 = m ˙ 2

A 1 V 1 v 1 = A 2 V 2 v 2

A 1 V 1 R T 1 ⋅ p 1 = A 2 V 2 R T 2 ⋅ p 2

Como A 1 = A 2 , simplificando a equação:

V 2 V 1 = T 2 T 1 ⋅ p 1 p 2

Substituindo os dados:

V 2 V 1 = 100 500 ⋅ 323 293

V 2 = 0,220477 ⋅ V 1

Do balanço de taxa energia desprezando os efeitos da energia potencial, temos:

Q ˙ v c - W ˙ v c + m ˙ h 2 - h 1 + V 2 2 - V 1 2 2 = 0

Como Q ˙ v c = W ˙ v c = 0 , então:

m ˙ h 2 - h 1 + V 2 2 - V 1 2 2 = 0

h 2 - h 1 + V 2 2 - V 1 2 2 = 0

c p T 2 - T 1 + V 2 2 - V 1 2 2 = 0

Substituindo V 2 :

c p T 2 - T 1 + 0,220477 ⋅ V 1 2 - V 1 2 2 = 0

c p T 2 - T 1 + 0,9514 ⋅ V 1 2 2 = 0

0,9514 V 1 2 2 = c p T 2 - T 1

Substituindo os dados:

V 1 2 = 2 0,9514 ⋅ 1,005 ⋅ 323 - 293 × 10 3

V 1 = 251,75   m / s

Assim:

V 2 = 0,220477 ⋅ 251,75

V 2 = 55,51   m / s

Passo 3

Letra c)

Por fim, calculando a vazão mássica do ar:

m ˙ = m ˙ 2 = m ˙ 1 = A 1 V 1 v 1 = π 4 D 1 2 V 1 R T 1 ⋅ p 1

Substituindo os dados:

m ˙ = π 4 ⋅ 0,02 2 ⋅ 251,75 287 ⋅ 293 ⋅ 100 × 10 3

m ˙ = 0,094052   k g / s

E fim!

Até a próxima questão!

Resposta

a )   D e   2   p a r a   1

b )   V 1 = 251,75   m / s ;   V 2 = 55,51   m / s

c )   m ˙ = 0,094052   k g / s

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