Enunciado

Uma estrada de ferro é estendida sem juntas de dilatação em um deserto onde as temperaturas diurna e noturna diferem de ∆ T = 50 K . A área de seção reta dos trilhos é A = 3,6 ⋅ 10 - 3 m 2 . O módulo de Young Y é 20 ⋅ 10 10   N / m 2 , e o coeficiente de dilatação linear α = 8 ⋅ 10 - 6   K - 1 . (a) Se o comprimento da estrada é mantido constante, qual a diferença na tensão nos trilhos do dia para a noite? (b) Se a tensão for nula quando a temperatura é mínima, qual seu valor quando a temperatura é máxima? (c) Se a estrada tem 15000   k m de comprimento e é livre para dilatar, qual a diferença de comprimento do dia para a noite? (d) que derivadas parciais devem ser calculadas para se responder as questões precedentes?

Passo 1

Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.

Nessa questão temos a pergunta sobre uma dilatação que temos. Vamos ver cada uma delas.

Passo 2

Para esse sistema temos

L = L 0 1 + F Y A + α ∆ T

Se o comprimento é constante, então temos L = L 0 . Assim, a equação fica

1 = 1 + F Y A + α ∆ T

F Y A + α ∆ T = 0

F Y A = - α ∆ T

| F | = α Y A ∆ T

Substituindo os valores, temos

F = 8 ⋅ 10 - 6 ⋅ 20 ⋅ 10 10 ⋅ 3,6 ⋅ 10 - 3 ⋅ 50 = 28800 ⋅ 10 1 = 288000   N = 2,88 ⋅ 10 5   N

Passo 3

A tensão é a que foi calculada no item anterior. Então

F = 2,88 ⋅ 10 5 N

Passo 4

A diferença pode ser calculada através de

∆ L = L - L 0 = L 0 F Y A + α ∆ T

Substituindo os valores, temos

∆ L = 15000 2,88 ⋅ 10 5 20 ⋅ 10 10 ⋅ 3,6 ⋅ 10 - 6 + 8 ⋅ 10 - 6 ⋅ 50

∆ L = 6006 m

Passo 5

Não foi preciso calcular nenhuma derivada.

Mais um problema feito. Bora pra mais um?

Resposta

a F = 2,88 ⋅ 10 5   N

b F = 2,88 ⋅ 10 5   N

c ∆ L = 6006 m

d n ã o   f o i   p r e c i s o   c a l c u l a r   d e r i v a d a s

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