Enunciado

A Fig. P5.112 mostra o esquema de uma pistola a ar comprimido. Admita que, quando a pistola está carregada, o volume do reservatório de ar é 1   c m 3 , a temperatura do ar é 27 ° C e sua pressão é igual a 1   M P a . A massa do projétil é 15   g e ele se comporta como um pistão que, inicialmente, está travado por um pino (gatilho). Quando a arma é disparada o ar expande num processo isotérmico e a pressão do ar, no instante em que o projétil deixa o cano, é igual a 0,1   M P a . Nestas condições, determine:

a. O volume final e a massa de ar contida na pistola.

b. O trabalho realizado pelo ar contido na pistola e o trabalho realizado na atmosfera.

c. O trabalho realizado no projétil e sua velocidade na seção de saída do cano.

Passo 1

Ooi galerinha, tudo bom? Bora resolver essa aqui comigo?

Galera temos um processo de expansão e temos que determinar vários itens, ao decorrer do exercício vamos abordando como resolver cada item.

Ao ler o enunciado ela assusta né, mas fica tranquilo temos uma dica muito boa. Quando o enunciado fala “o ar expande num processo isotérmico” isso significa para nós que o processo é isotrópico com n = 1 , logo:

P V 1 = C = P 1 V 1 = P 2 V 2

Saber o coeficiente isotrópico é tão relevante que devido a ele ser n = 1 a fórmula do trabalho realizado pelo ar é:

W = P 1 V 1 ∙ ln ⁡ V 2 V 1

Bora determinar os itens do enunciado.

Passo 2

a) Para letra a temos que calcular o volume final e a massa contida na pistola.

Vamos começar com a massa.

Gente do momento inicial até o final, temos que nenhuma massa de ar escapa do cano da arma, logo, m 1 = m 2 como todo processo de conjunto cilindro – pistão.

E para o cálculo da massa vamos assumir que o ar é um gás ideal, aplicando a fórmula do gás ideal:

P V = m R T

Como temos todas as variáveis do estado inicial iremos utilizar elas e olhando na tabela A . 5 temos que R = 0,287 k J k g   K .

P 1 V 1 = m R T 1

m = P 1 V 1 R T 1

Antes de substituir os valores temos que converter a unidade do volume e da temperatura:

T 1 = 27 ° C + 273,15 = 300,15   K

V 1 = 1   c m 3 ∙ 10 - 6 = 1 ∙ 10 - 6 m 3

Substituindo valores:

m = 1000 ∙ 1 ∙ 10 - 6 0,287 ∙ 300,15

m = 1,16 ∙ 10 - 5 k g

Passo 3

a)Para calcular o volume final pessoal temos que utilizar as relações de P , V   e   T de processos isotrópicos, a que iremos usar é a seguinte:

P 1 V 1 = P 2 V 2

Isolando V 2 :

V 2 = P 1 V 1 P 2

Substituindo valores:

V 2 = 1000 ∙ 1 ∙ 10 - 6 0,1 ∙ 10 3 = 1 ∙ 10 - 5 m 3 = 10   c m 3

Letra a finalizada bora para b.

Passo 4

b) No item b temos que determinar o trabalho realizado pelo ar e o trabalho realizado pela atmosfera.

Pessoal o trabalho par o ar é determinar pela fórmula dita no passo 1, reescrevendo ela:

W a r = P 1 V 1 ∙ ln ⁡ V 2 V 1

Substituindo valores:

W a r = 1000 ∙ 10 - 6 ∙ ln ⁡ 10 - 5 10 - 6

W a r = 2,3025   J

Passo 5

b) Para o cálculo do trabalho realizado pela atmosfera.

Pessoal à pressão que atmosfera realiza do início ao final do processo é a mesma, logo, P 0 = c o n s t a n t e .

Como a pressão é constante podemos utilizar a definição de trabalho, que é a seguinte:

W = ∫ P d V = P 0 ∙ Δ V = P 0 ∙ V 2 - V 1

Calculando o trabalho:

W a t m = P 0 ∙ V 2 - V 1

Olhando no final do livro na página 519 , temos P 0 = 1   a t m = 101,325   k P a .

Substituindo valores:

W a t m = 101,325   ∙ 10 - 1 ∙ 10 - 6

W a t m = 9,11925 ∙ 10 - 4   k J = 0,911925   J

Passo 6

c)Para o letra c temos que determinar o trabalho realizado pelo projétil e a velocidade de saída da bala.

Galera o trabalho realizado pela bala nada mais é que o somatório de trabalho aplicado a ela, ou seja, temos o trabalho do ar é acrescenta energia cinética na bala e temos o trabalho da atmosfera retirar energia cinética do projétil.

Escrevendo matematicamente, temos:

W p r o j é t i l = W a r - W a t m

W p r o j é t i l = 2,3025 - 0,911925

W p r o j é t i l = 1,39055   J

Já emendando o outro item a velocidade de saída do projétil, lembra que falei de energia cinética, então haha, a fórmula de energia cinética é definida por:

U = m 2 V 2

Como enérgica cinética e trabalho possuem mesma unidade, estamos falando da mesmo item, a energia que faz a bala se mover é o trabalho da bala.

U = m 2 V 2 = W p r o j é t i l

Isolando a velocidade, temos:

V   = W p r o j é t i l ∙ 2 m

Convertendo a massa de gramas para k g , m = 15 g ∙ 10 - 3 = 15 ∙ 10 - 3   k g e substituindo valores:

V = 1,39055   ∙ 2 15 ∙ 10 - 3

V = 13,6164 m s

É isso pessoal, te vejo na próxima.

Resposta

a)

m = 1,16 ∙ 10 - 5 k g

V 2 = 1 ∙ 10 - 5 m 3 = 10   c m 3

b)

W a r = 2,3025   J

W a t m = 0,911925   J

c)

W p r o j é t i l = 1,39055   J

V = 13,6164 m s

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