Enunciado

Uma banheira que, inicialmente, estava vazia e com o ralo tampado está sendo alimentada com 10 quilogramas de água por minuto. Após 10 minutos do início da operação de enchimento, a tampa do ralo foi retirada e a vazão de alimentação de água foi reduzida de 10 quilogramas por minuto para 2 quilogramas por minuto. Considere que a vazão em massa de água no ralo é constante e igual a 4 quilogramas por minuto. Faça um gráfico da massa de água contida na banheira em função do tempo. Determine o tempo necessário para que não exista água na banheira. Considere que o intervalo de tempo inicia na partida da primeira operação de enchimento da banheira.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Neste exercício devemos ter bastante atenção às informações do enunciado para não nos perdermos. Vamos por partes!

Em um primeiro momento, a banheira está vazia e com ralo tampado, sendo então alimentada com uma vazão constante de 10   k g / m i n durante 10   m i n .

Ou seja, neste primeiro momento só temos o escoamento de entrada. A banheira está somente enchendo. Se a vazão é de 10   k g / m i n e se passaram 10   m i n , então:

∆ m = m ˙ ⋅ ∆ t 1

∆ m = 10 ⋅ 10

∆ m = 100   k g

Temos então na banheira um total de 100   k g de água.

Passo 2

O ralo é então aberto e a vazão de entrada é diminuída para m ˙ e = 2   k g / m i n . Temos que a vazão de saída provocada pela abertura do ralo é de m ˙ s = 4   k g / m i n .

Bom... Se está entrando menos água do que está saindo, a banheira está secando. A vazão resultante é de:

m r ˙ = m ˙ e - m ˙ s

m ˙ r = 2 - 4 = - 2   k g / m i n

Se a banheira estava com 100   k g de água, e temos a vazão resultante, podemos descobrir o tempo necessário para retirar (secar) estes 100   k g de água. Temos que:

∆ t 2 = ∆ m m ˙ r

∆ t 2 = - 100 - 2

∆ t 2 = 50   m i n

Ou seja, nas condições dadas, demoraria 50   m i n para que a banheira fosse totalmente secada.

O tempo total do processo, seria a soma dos 10     m i n iniciais com os 50   m i n do segundo momento:

∆ t t o t a l = 50 + 10

∆ t t o t a l = 60   m i n

Passo 3

Agora que temos todos os dados, podemos construir nosso gráfico do processo para a quantidade de massa de água em função do tempo:

Resposta

∆ t t o t a l = 60   m i n

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