Hidrogênio gasoso ( H 2 ) a 35 ° C e pressão p é admitido em um volume de controle isolado operando em regime permanente para o qual W ˙ v c = 0 . Metade do hidrogênio é descarregado do dispositivo a 2   b a r e a 90 ° C , e a outra metade é descarregada a 2   b a r e - 20 ° C . Os efeitos das energias cinética e potencial são desprezíveis. Utilizando o modelo de gás ideal com o calor específico constante c p = 14,3   k J / k g ⋅ K , determine o menor valor possível para a pressão de admissão p , em b a r .

Passo 1

Opa, beleza?

Pronto para começarmos a resolver mais uma questão?

Espero que sim!

Bora lá!

Começamos o nosso problema aplicando a equação da continuidade em nosso sistema:

m ˙ 1 = m ˙ 2 + m ˙ 3

Como m ˙ 2 = m ˙ 3 , temos:

m ˙ 1 = m ˙ 2 + m ˙ 2

m ˙ 1 = 2 m ˙ 2

Assim:

m ˙ 2 = m ˙ 3 = m ˙ 1 2

Aplicando a equação de taxa de energia:

Q ˙ v c - W ˙ v c + m ˙ 1 h 1 - m ˙ 2 h 2 - m ˙ 3 h 3 = 0

Abrindo:

Q ˙ v c - W ˙ v c + m ˙ 1 c p T 1 - m ˙ 2 c p T 2 - m ˙ 3 c p T 3 = 0

Como Q ˙ v c = W ˙ v c = 0 , e substituindo os termos de vazão mássica, temos:

m ˙ 1 c p T 1 - m ˙ 1 2 c p T 2 - m ˙ 1 2 c p T 3 = 0

Substituindo os dados:

m ˙ 1 c p ⋅ 308 - m ˙ 1 2 c p ⋅ 363 - m ˙ 1 2 c p ⋅ 253 = 0

m ˙ 1 c p ⋅ 308 - 363 2 - 253 2 = 0

0 = 0

A equação de taxa de energia está satisfeita!

Passo 2

Aplicando a equação de taxa de equilibro de entropia:

∑ Q ˙ T + m ˙ 1 s 1 + m ˙ 2 s 2 - m ˙ 3 s 3 + σ ˙ v c = 0

Como ∑ Q ˙ T = 0 , e substituindo os termos de vazão mássica, temos

m ˙ 1 s 1 + m ˙ 1 2 s 2 - m ˙ 1 2 s 3 + σ ˙ v c = 0

s 1 - s 2 2 - s 3 2 + σ ˙ v c m ˙ 1 = 0

1 2 s 1 - s 2 + 1 2 s 1 - s 3 + σ ˙ v c m ˙ 1 = 0

Passo 3

Para gases ideais, temos as seguintes relações:

s 1 - s 2 = c p ln ⁡ T 1 T 2 - R ln ⁡ p 1 p 2

s 1 - s 3 = c p ln ⁡ T 1 T 3 - R ln ⁡ p 1 p 3

Assim, a nossa equação do Passo 2 fica:

1 2 c p ln ⁡ T 1 T 2 - R ln ⁡ p 1 p 2 + 1 2 c p ln ⁡ T 1 T 3 - R ln ⁡ p 1 p 3 + σ ˙ v c m ˙ 1 = 0

Substituindo os dados e sabendo que p 1 = p e p 2 = p 3 :

1 2 c p ln ⁡ 308 363 - R ln ⁡ p p 2 + 1 2 c p ln ⁡ 308 253 - R ln ⁡ p p 2 + σ ˙ v c m ˙ 1 = 0

1 2 - 0,164 c p - R ln ⁡ p p 2 + 1 2 0,1967 c p - R ln ⁡ p p 2 + σ ˙ v c m ˙ 1 = 0

0,0162 c p - R ln ⁡ p p 2 + σ ˙ v c m ˙ 1 = 0

Passo 4

Substituindo:

c p = 14,3   k J / k g ⋅ K

R = 8,314 2,016   k J / k g ⋅ K

Temos:

0,0162 ⋅ 14,3 - 8,314 2,016 ⋅ ln ⁡ p p 2 + σ ˙ v c m ˙ 1 = 0

0,232 - 4,124 ⋅ ln ⁡ p p 2 + σ ˙ v c m ˙ 1 = 0

Isolando o que queremos:

ln ⁡ p p 2 = 0,05626 + 0,2425 ⋅ σ ˙ v c m ˙ 1

Aplicando as propriedades logarítmicas:

p p 2 = e 0,05626 + 0,2425 ⋅ σ ˙ v c m ˙ 1

p = p 2 e 0,05626 + 0,2425 ⋅ σ ˙ v c m ˙ 1

Passo 5

Por fim, calculando menor valor possível para a pressão de admissão:

p = p 2 e 0,05626 + 0,2425 ⋅ σ ˙ v c m ˙ 1

Para a pressão mínima:

σ ˙ v c m ˙ 1 = 0

Então:

p = p 2 e 0,05626

Substituindo p 2 :

p = 2 ⋅ e 0,05626

p = 2,116   b a r

Ufa, terminamos!

Até a próxima questão!

Resposta

p = 2,116   b a r

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