Enunciado

Prove que o COP de todos os refrigeradores completamente reversíveis deve ser o mesmo quando as temperaturas do reservatório são também as mesmas.

Passo 1

Suponhamos que o refrigerador A é completamente reversível e que C O P B > C O P A , no arranjo mostrado na figura a seguir.

Temos que:

W B = Q L C O P B < Q L C O P A = W A

Isso significa que a magnitude do trabalho necessário para acionar o refrigerador B é menor do que o necessário para acionar o refrigerador A.

Passo 2

Aplicando a primeira lei aos rendimentos de ambos os refrigeradores temos:

Q H , B   <   Q H , A

Devido ao trabalho fornecido ao refrigerador B ser menor do que o fornecido ao refrigerador A e ambos terem o mesmo efeito de resfriamento, Q L .

Passo 3

Como A é um refrigerador completamente reversível, podemos revertê-lo sem alterar a magnitude das transferências de calor e trabalho (como mostra a figura a seguir). O calor, Q L , que é rejeitado pelo refrigerador invertido A, agora pode ser direcionado diretamente para o refrigerador B. Agora, nenhum calor é trocado com o reservatório T L .

A magnitude do calor fornecido ao refrigerador reverso A, Q H , A , demonstrou ser maior do que o rejeitado pelo refrigerador B. Existe então uma transferência líquida de calor do reservatório T H para o dispositivo combinado nas linhas tracejadas da figura cuja magnitude é dada por Q H , A - Q H , B . Da mesma forma, há uma produção líquida de trabalho pelo dispositivo combinado cuja magnitude é dada pelo W A - W B .

Concluindo, temos que o dispositivo cíclico combinado então troca calor com um reservatório a uma única temperatura e produz um trabalho que é claramente uma violação da declaração de Kelvin-Planck da segunda lei. Então a suposição de que C O P B > C O P A deve estar errada.

Entretanto, se trocarmos A e B no argumento anterior, concluiremos que a C O P B não pode ser menor que a C O P A . A única alternativa que resta é que C O P B = C O P A .

Resposta

A suposição de que C O P B > C O P A deve estar errada. A única alternativa que resta é que C O P B = C O P A .

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