Enunciado

Repita o Prob. 7–220, considerando que o pistão seja feito de 5 kg de cobre, encontrando-se inicialmente à temperatura média dos dois gases nos dois lados.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Bem, um pouco diferente do problema 7-220, inicialmente assumiremos que:

1. N 2 e He são gases ideais com aquecimentos específicos constantes.

2. A energia armazenada no próprio recipiente, exceto o pistão, é insignificante.

3. O cilindro é bem isolado e, portanto, a transferência de calor é insignificante

4. Inicialmente, o pistão é na temperatura média dos dois gases.

Obs: Das tabelas A-1 e A-2 do livro, podemos encontrar os valores das propriedades dos gases, tais como:

    N 2 →               R = 0,2968 k P a * m 3 k g K           c v = 0,743 K J k g 0 C               c p = 1,039 K J k g 0 C

    H e →               R = 2,0769 k P a * m 3 k g K           c v = 3,1156 K J k g 0 C               c p = 5,1926 K J k g 0 C

E o calor específico do cobre à temperatura ambiente é (Tabela A-3): c = 0,386 K J k g 0 C .

Passo 2

Letra a) Bem, podemos primeiramente calcular a massa de cada cilindro. Como são gases ideais, vamos utilizar a seguinte relação:

m N 2 = P 1 V 1 R T 1 N 2 = 50 0 * 1 0,2968 * 35 3       →   m N 2 = 4 , 77   k g  

m H e = P 2 V 2 R T 2 H e = 5 0 0 * 1 2,0769 * 2 98       →   m H e = 0 , 808   k g  

Obs: É interessante deixar sempre a temperatura em Kelvin, para evitar erros bobos.

Assim, tomando todo o conteúdo do cilindro, a relação do balanço de energia pode ser escrita como:

E e n t - E s a i = Δ E s i s t e m a

Então:

0 = Δ U N 2 + Δ U H e + Δ U C u    

→   0 = m c v T 2 - T 1 H e + m c v T 2 - T 1 N 2 + m c T 2 - T 1 C u

Sendo que: T 1 C u = 80 + 25 2 = 52,5 0 C

Substituindo os valores, temos que:

= 0 , 808 * 3,1156   T f - 25 H e + 4 , 77 * 0,743 T f - 8 0 N 2 + 5 * 0 , 386 T f - 52,5 C u

Reorganizando e calculando, encontramos:

T f = 5 6 0 C   o u   329   K  

Onde T f é a temperatura final de equilíbrio.

Obs: A resposta seria a mesma se o pistão não estivesse livre para se mover, pois afetaria apenas a pressão, e não os calores específicos.

Passo 3

Letra b) Tomamos o cilindro inteiro como nosso sistema, que é um sistema fechado. Observando que o cilindro é bem isolado e, portanto, não há transferência de calor, o balanço de entropia para este sistema fechado pode ser expresso como:

S e n t - S s a i + S g e r = Δ S s i s t e m a       →   S g e r = Δ S N 2 + Δ S H e + Δ S C u

Devemos lembrar que Δ S pode ser escrito:

Δ S = m c p ln ⁡ T 2 T 1 - R l n P 2 P 1

Porém, devemos determinar a pressão final do cilindro P 2 :

P 2 = N t o t a l R u T V t o t a l

Para isso, o número de mols total é:

N t o t a l = m M N 2 + m M H e = 4 , 77 28 k g k g / k m o l + 0 , 808 4 k g k g / k m o l =   0 , 3724   k m o l

Assim:

P 2 = 0 , 3724   k m o l * 8,314   k p a * m 3 k m o l K * 3 29   K 2 m ³ = 509,4   k P a

Portanto:

Δ S N 2 = 4 , 77 1,039 * ln ⁡ 3 29 3 5 3 - 0,2968 * l n 509,4 50 0 = - 0 , 3749 K J K

Δ S H e = 0 , 808 5,1926 * ln ⁡ 3 29 298 - 2,0769 * l n 509,4 50 0 = 0 , 3845 K J K

E

Δ S C u = m c   l n T 2 T 1 p i s t ã o = 5 * 0,386 * ln ⁡ 329   K 325,5   K = 0 , 021 K J K

Concluímos então que:

S g e r = Δ S N 2 + Δ S H e + Δ S C u = - 0,3749 + 0,3 845 + 0,021       → S g e r = 0,03 05 K J K

Passo 4

Se o pistão não tivesse liberdade de movimento, a temperatura T 2 permaneceria a mesma, mas o volume em cada caso seria constante, resultando em:

Δ S = m c v ln ⁡ T 2 T 1

Assim: Δ S N 2 = 4,77 0,743 * ln ⁡ 3 29 3 5 3 = - 0 , 249 K J K

Δ S H e = 0 , 808 3,1156 * ln ⁡ 3 29 298 = 0 , 249 K J K

E, portanto, a geração de entropia durante esse processo seria:

S g e r * = 0,02 1 K J K

Resposta

Portanto:

Letra a)   T f = 5 6 0 C   o u   3 29   K

Letra b) S g e r = 0,03 05 K J K

E   S g e r * = 0,02 1 K J K

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