Enunciado

Um tanque contém ar a 1 M P a e 20 ° C e é utilizado para encher um balão que inicialmente está murcho. O diâmetro do balão é igual a 2   m . Nesta condição, a pressão e a temperatura no ar do balão são respectivamente iguais a 200   k P a e 20 ° C . Determine a massa de ar contido no balão cheio e o volume mínimo do tanque de modo que o processo de enchimento tenha sucesso. Admita que a temperatura do ar no tanque é sempre igual a 20 ° C e que a pressão do ar no balão é linearmente proporcional ao diâmetro do balão.

Passo 1

Vamos lá pessoal! Bora para mais uma.

Seguinte temos que responder duas perguntas, irei separa por letras só pra organizar melhor.

a) Temos que calcular a massa de ar no balão cheio.

b) Temos que calcular o volume do tanque para que ele funcione e também seja suficiente para encher o balão.

Vamos começara devagar, vamos começar com a letra a.

Passo 2

a) Para determinar a massa do balão sobre as condições de estado, teremos que utilizar a fórmula do gás.

P V = m R T

Para o nosso estado temos que:

T 2 = 20 ° C + 273,15   K = 293,15 K

P 2 = 200   k P a

A constante do gás ar pode ser encontrada na tabela A . 5 , R = 0,287 k J k g K .

E o nosso volume, vamos considerar que o balão é uma esfera perfeita. Aplicando a fórmula de volume de esfera, temos:

V b a l ã o = 4 3 ∙ π ∙ r 3

V b a l ã o = 4 3 ∙ π ∙ 2 3 = 33.51   m 3

Passo 3

Dados em mãos, aplicando na fórmula do gás, temos:

P 2 V b a l ã o = m b a l ã o R T 2

m b a l ã o = P 2 V b a l ã o R T 2

m b a l ã o = 200 ∙ 33.51   0,287 ∙ 293,15 = 79,65   k g

Passo 4

b) Para letra b, temos algumas condições para o volume.

Para o nosso tanque funcionar:

P t a n q u e 2 ≥ 200   k P a

m t a n q u e 2 ≥ P 2 V t a n q u e R T 2  

E sabemos que o tanque inicialmente, deve conter a massa do balão e a mais uma quantia suficiente para manter a condição de P t a n q u e ≥ 200   k P a .

m t a n q u e     1 = m b a l ã o + m t a n q u e 2

Escrevendo esta equação por meios da equação do gás real, temos que:

P V = m R T

m = P V R T

Para cada massa temos a seguinte equação:

m t a n q u e     1 = P 1 V t a n q u e R T 1

m b a l ã o = 79,65   k g

m t a n q u e 2 = P 2 V t a n q u e R T 2

Passo 5

Com cada massa especificada, vamos substituir na equação da massa inicial do tanque, temos:

m t a n q u e     1 = m b a l ã o + m t a n q u e 2

P 1 V t a n q u e R T 1 = m b a l ã o + P 2 V t a n q u e R T 2

Isolando V t a n q u e :

V t a n q u e = R ∙ T ∙ m b a l ã o P 1 - P 2

V t a n q u e = 0,287 ∙ 293,15 ∙ 79,65 1000 - 200 = 8,37   m 3

É isso pessoal, valeu!

Resposta

m b a l ã o = 79,65   k g

V t a n q u e = 8,37   m 3

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