Enunciado

Um teleférico de esqui tem um comprimento de 1 km e uma diferença de altura vertical de 200 m. O espaço entre as cadeiras é de 20 m, e cada cadeira acomoda três pessoas. O teleférico opera a uma velocidade constante de 10 km/h. Desprezando o atrito e o arrasto aerodinâmico, e supondo que a massa média de cada cadeira carregada seja de 250 kg, determine a potência necessária para operar esse teleférico. Estime também a potência necessária para acelerar esse teleférico até sua velocidade de operação em 5 s (depois de ligado).

Passo 1

Inicialmente, vamos verificar a quantidade de cadeiras no teleférico e, daí, a massa total. Sabemos que o teleférico tem 1   k m = 1000   m de comprimento, e que o espaço entre cada cadeira é de 20   m , assim, se dividirmos o comprimento do teleférico pelo espaço entre cada cadeira, chegaremos ao número de cadeiras total.

1000   m 20   m = 50   c a d e i r a s

Cada cadeira carregada tem 250 kg, daí, a massa total de todas as cadeiras carregadas é de 50   c a d e i r a s × 250   k g = 12500   k g .

Passo 2

Agora, vamos calcular o trabalho necessário para manter todas essas cadeiras no ar. O trabalho irá obedecer a energia gravitacional, já que as cadeiras estão a 200 m do chão, assim a expressão para o trabalho é

W = m g Δ h = 12500   k g × 9,81 m s 2 × 200   m = 24525   k J

Passo 3

Temos que a potência será dada por

P o t = W t

onde, t é o tempo em que o a cadeira demora pra sair do início do teleférico até o final.

Sabemos que a velocidade do teleférico é de 10 km/h e que velocidade é dada pela seguinte expressão:

v = d i s t â n c i a t e m p o

Assim, para encontrarmos o tempo que a cadeira demora pra percorrer o teleférico, basta isolarmos o tempo na expressão, desse modo

t = d i s t â n c i a v = 1   k m 10   k m / h = 0,1   h = 360   s

Passo 4

Daí, conseguimos então descobrir a potência necessária para operar esse teleférico lotado, temos

P o t = W t = 24525   k J 360   s = 68,125   k W

Passo 5

Para estimarmos a potência necessária para acelerar o teleférico até a sua velocidade de 10 km/h, vamos utilizar a soma das potências do trabalho potencial e do trabalho cinético, assim

P o t t o t a l = P o t c i n + P o t g r a v

Passo 6

Começaremos pela potência do trabalho cinético, para isso, precisamos da aceleração do teleférico quando este está a 10 km/h.

Convertendo km/h para m/s, temos:

v = 10   k m / h ÷ 3,6 = 2,778   m / s

Temos que a aceleração até essa velocidade em 5 segundos será dada por

a = Δ v Δ t = 2,778 5 = 0,556   m / s 2

Assim, podemos calcular a potência vinda do trabalho cinético que é dada por:

P o t c i n = m 2 v f 2 - v i 2 Δ s = 12500   k g 2 ⋅ 2,778 m s 2 - 0 5   s = 9,646   k W

Passo 7

Agora, para calcular a potência vinda do trabalho potencial, temos primeiro que encontrar a que altura a cadeira estará em 5 s. Daí, vamos utilizar o esquema abaixo para guiar nosso raciocínio:

Vamos utilizar semelhança de triângulos para obter a altura que a cadeira está em 5 s. Inicialmente, vamos achar a distância x que ele está da origem. Assim,

x = x 0 + v o t + a t 2 2

Como a posição inicial é 0 e a velocidade inicial também é 0, teremos:

x = a t 2 2 → x = 0,556 m s 2 × 5   s 2 2 = 6,95   m

Aplicando a semelhança de triângulo, teremos:

6,95   m 1000   m = h 200   m → h = 1,39   m

Assim, a potência da energia gravitacional é dada por

P o t g r a v = m g h Δ s = 12500   k g × 9,8 m s 2 × 1,39   m 5   s = 34   k W

Passo 8

Somando as potências pela expressão dada no Passo 5, teremos:

P o t t o t a l = 9,646   k W + 34   k W = 43 , 646   k W

Resposta

A potência necessária para operar esse teleférico com carga total é de 68,125 kW.

A potência estimada para acelerar esse teleférico até sua velocidade de operação em 5 s é de 43,646 kW.

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