Condução de Energia por Calor

Teoria Completa

O que é condução de energia por calor?

Pra cozinhar, a gente coloca a superfície externa da panela em contato com o fogo, certo? Mas se estamos esquentando apenas o lado de fora da panela com as chamas, como essa energia consegue chegar no interior do recipiente pra esquentar os ingredientes?

Pra entender melhor esse processo, imagina que somos capazes de enxergar o movimento dos átomos que formam a panela.

Isso mesmo! Agora vamos focar nossa supervisão pro lado quente que está em contato direto com o fogo. Veríamos que as moléculas estão bem agitadas por causa da energia que recebem das chamas.

Essa vibração mais forte faz elas colidirem com os átomos próximos que estavam mais “paradões”. Esse impacto faz eles se agitarem mais também. Pra visualizar melhor, é só lembrar do que acontece quando jogamos sinuca.

Essas partículas recém estimuladas se chocam com outras, gerando um efeito em cadeia de propagação de movimento. Depois de um tempo, essa movimentação alcança os átomos da superfície interna da panela, o que faz esquentar a comida. Essa transferência de energia molécula a molécula é conhecida como condução de energia por calor.

Quais fatores influenciam a condução?

Agora que já conhecemos a física por trás do processo, dá pra entender melhor quais fatores influenciam a velocidade desse tipo de transmissão de energia. De todos os parâmetros que podemos imaginar, só três têm importância pra gente:

  • A área da superfície, onde acontece a transferência de energia
  • A diferença de temperatura entre as partes mais quente e mais fria do material
  • A capacidade de conduzir energia por calor do material

A diferença de temperatura e a capacidade de conduzir energia por calor aparecem com nomes diferentes em exercícios de condução.

Relaxa, porque a influência de cada uma dessas três variáveis será explicada com mais detalhes já já! Antes, será mostrada a fórmula que calcula a condução de energia por calor!

Lei de Fourier

Essa quantidade de informações pode te fazer pensar que existem equações complicadíssimas pra calcular a velocidade de transferência de energia por condução, mas não se assuste! Todos esses detalhes são resumidos em uma única fórmula chamada lei de Fourier.

Q ˙ = k A d T d x

onde:

  • Q ˙ é a derivada da quantidade de energia transferida por condução em relação ao tempo. Geralmente seu valor está em watt ( W ), mas em exercícios de termodinâmica é comum ver a unidade em quilowatt ( k W ).
  • 1   k W = 1000   W

  • k é a condutividade térmica do material que compõe o objeto. Por exemplo: no caso da panela, o material é o aço inox. Então k teria valor igual à condutividade do aço.
  • A é a área da superfície onde ocorre a transferência de energia. Tenha cuidado! Seu valor na fórmula deve estar sempre em metro quadrado ( m 2 ).
  • 1   c m 2 = 10 - 4   m 2 e 1   m m 2 = 10 - 6   m 2

  • d T d x é a derivada da temperatura em relação a uma direção x . Também pode ser chamada de gradiente de temperatura. Essa derivada representa a contribuição da diferença da temperatura pra velocidade de transferência de energia Q ˙ . Sua unidade segue o Sistema Internacional de Unidades, ou seja: kelvin por metro K m . Ela também pode estar numa unidade equivalente de grau Celsius por metro ° C m .
  • 1   K m = 1   ° C m

  • As barras laterais da fórmula indicam que estamos calculando apenas o módulo da transferência de energia.

Agora vamos ver os efeitos desses fatores na velocidade da condução de energia por calor!

Área da superfície de troca de energia A

Pra entender melhor a importância desse fator, vamos retomar o exemplo sobre cozinhar. Dentro desse caso, ao invés de se perguntar como o tamanho da superfície varia a velocidade da condução de energia por calor, vamos descobrir porque a maior boca do fogão esquenta a comida mais rápido. As duas questões têm a mesma resposta!

Isso faz muito sentido com o que já aprendemos sobre condução! Olha só: quanto maior a boca do fogão, maior a área de contato entre o fogo e a panela. Isso significa que mais átomos da superfície externa começam a se agitar e a propagar seu movimento até o interior do recipiente. O resultado disso é que mais moléculas do lado de dentro se agitam e conseguem de aquecer a comida. Desse jeito ela esquenta mais rápido!

Diferença de temperatura d T d x

Vamos seguir com o exemplo da panela esquentando. No início do aquecimento dela, quando sua temperatura ainda não está muito alta, encostar a mão na sua lateral não é tão perigoso. Nosso corpo não esquenta tão rápido com esse toque. Mas depois de algum tempo com a panela no fogo, um segundo de contato com o metal já é o suficiente pra gente nunca mais querer fazer o teste!

Dessa vez, a energia passa mais rápido para a nossa pele por causa do aumento de temperatura do objeto. Falando isso de outro jeito: a diferença de temperatura entre a parte mais quente (panela) e a parte mais fria (nossa mão) influencia a velocidade do processo.

∆ T ↑     ⟹   Q ˙ ↑

d T d x ↑   ⟹ Q ˙ ↑

onde:

  • Atenção! Esse pontinho ˙ em cima de Q sempre indica derivação no tempo! Essa regra se aplica para qualquer variável que tenha essa bolinha em cima! Traduzindo, Q ˙ representa a velocidade da troca de energia.
  • ∆ T é a diferença de temperatura entre a parte mais quente e a mais fria.

Condutividade térmica k

Por último, já perceberam que segurar uma panela quente toda de metal, esquenta bem mais rápido a mão, do que segurar uma frigideira pelo seu cabo de plástico? Por que isso acontece se a temperatura da chama que aquece os dois é a mesma?

Isso ocorre porque materiais diferentes possuem capacidades diferentes de conduzir energia por calor. Essa característica é chamada de condutividade térmica do material k . Quanto maior seu valor, melhor condutor ele é.

Essa variável é representada por k nas questões de condução. Sua unidade, nestes exercícios, está de acordo com o Sistema Internacional de Unidades (S.I.): W m ∙ K

Ela é lida como watt por metro quadrado.

Mas fique atento! Em vários problemas a unidade da condutividade térmica é:

k W m ∙ K

onde k W significa quilowatt.

Outra dica importante pra você: as unidades W m ∙ K e W m ∙ ° C são equivalentes entre si. Por isso, as unidades k W m ∙ K e k W m ∙ ° C também se equivalem.

Eixo x da lei de Fourier

Quase todos os parâmetros da lei de Fourier já foram bem definidos, mas para entender melhor a derivada da temperatura em relação ao eixo x d T d x , a gente precisa entender qual direção essa reta representa. Antes, é necessário dizer que em exercícios de condução de energia por calor, a temperatura só varia em uma única direção! Uhul!

E no fim das contas, o eixo x é justamente essa direção, na qual a temperatura varia!

Vamos visualizar isso de novo pelo exemplo da panela no fogo. Nesse caso, ela tem uma temperatura maior onde as chamas estão em contato com o metal (superfície de fora). No entanto, esse valor vai caindo para pontos cada vez mais pertos da parte de dentro. Então o eixo é igual ao mostrado pela figura.

Ele está apontando de fora pra dentro da panela, mas o seu sentido não importa. Isso só interfere no sinal da derivada e ele será desprezado depois, porque estamos calculando apenas o módulo da taxa de transferência de energia.

Depois disso, se quiser saber o sentido da condução de energia, é só lembrar que ela é transmitida do ponto mais quente para o ponto mais frio!

Cálculo da derivada da temperatura d T d x

Ok! Essa simplificação ajudou bastante nossa vida! Mas ainda não resolveu todo nosso problema, não é mesmo? A gente já sabe que a temperatura varia em uma direção, mas não sabemos como ela varia nessa direção. A variação é linear? É exponencial? A gente precisa descobrir isso para calcular essa derivada!

Agora pode voltar a sorrir, porque lá vem outra simplificação muito comum nos exercícios de condução: eles consideram a variação da temperatura linear. Aí é só encontrar a inclinação dessa reta para calcular a derivada.

Pra treinar isso, vamos supor que a temperatura da face externa da panela mede 300   ° C e a temperatura do lado interno vale 100   ° C . Por fim, considere que a espessura da sua base é de 1   c m .

O primeiro passo para resolver a derivada é lembrar de transformar a unidade da espessura de centímetro para metro. Copiando a orientação do eixo indicada na figura:

d T d x = 100 - 300 0,01 = - 20000   ° C m

Com essa dica final, estamos prontos para partirmos pros exercícios.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Michael A. Boles e Yunus A. Çengel, Termodinâmica, 5ª ed. New York: McGraw-Hill Education, 2004, pp. 85-2.81C

Qual é o melhor condutor de calor, o diamante ou a prata? Use a tabela abaixo.

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Passo 1

O enunciado pede que a gente determine qual é o melhor condutor de calor a partir das informações dadas na tabela. Mas o que é essa variável k que aparece na tabela e o que ela tem a ver com condução de calor? Responder isso é a única etapa pra resolver a questão.

O k presente na tabela é chamado de condutividade térmica. Esse é só um nome difícil dado para a capacidade que um material tem de conduzir calor. Ou seja, quanto maior o valor da condutividade k do material, melhor ele conduz calor! Sua unidade no Sistema Internacional (S.I.) é o watt por metro por kelvin W / m ⋅ K . Então vamos comparar a condutividade k do diamante e da prata pra terminar logo esse exercício.

Passo 2

O valor da condutividade térmica do diamante k d é igual a:

k d = 1000   W m ⋅ K

Já o valor da condutividade térmica da prata k p é igual a:

k p = 429   W m ⋅ K

Ou seja, a condutividade térmica do diamante é maior.

k d > k p

Logo, o diamante conduz melhor o calor.

Resposta

O diamante.

Exercício Resolvido #2

Claus J. Borgnakke, Gordon J. Van Wylen, Richard E. Sonntag, Fundamentos da Termodinâmica, 6ª ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2003, pp. 90-4.17

Uma placa de compensado k = 0,16   W / m ∙ K apresenta espessura igual 15   m m . Sabendo que a diferença entre as temperaturas das superfícies expostas da placa é 20   ° C , determine a razão entre taxa de transferência de calor por condução da placa e a área de troca de energia.

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Passo 1

O exercício pede para determinar a razão entre taxa de transferência de calor por condução da placa e a área de troca de energia. Mas o que a taxa de transferência de calor por condução significa? Para entender melhor o que esses termo significa, podemos ilustrar o problema.

A taxa de transferência de calor é o nome comum, que os exercícios dão, para a derivada da energia que é transferida através da parede em relação ao tempo.

Para achar esse valor, temos que lembrar a fórmula de condução responsável pelo seu cálculo: a lei de Fourier.

Q ˙ = k A d T d x

Por essa equação, podemos ver que para encontrar a taxa de calor que atravessa a parede Q ˙ , precisamos primeiro achar o valor de três variáveis:

  • A condutividade térmica k
  • A área onde a energia é trocada A
  • A derivada da temperatura em relação ao eixo x d T d x

No entanto, a questão não pede o valor dessa taxa de transferência Q ˙ , mas sim a divisão de Q ˙ por A . Ou seja, precisamos rearranjar a lei de Fourier, passando a área A para o outro lado da equação, para calcular o que o problema quer. Faremos isso no próximo passo.

Passo 2

Reorganizando a lei de Fourier:

Q ˙ A = k d T d x

Agora vemos que, para obter o que se pede, não precisamos mais encontrar a área, porque o resultado da divisão só depende da derivada e da condutividade térmica.

Para chegar na resposta, temos que ler o enunciado com atenção, porque ele tem dois tipos de informação: as informações claras, que sabemos como usar, e os dados que ainda precisamos descobrir como usar na fórmula.

Vamos começar pelas informações mais claras:

  • O enunciado diz que a condutividade térmica da placa de compensado vale 0,16   W / m ∙ K .
  • A função das outras duas informações ainda não está claramente definida. São elas:
    • ∆ T = 20   ° C , a diferença de temperatura entre as duas superfície da placa
    • L = 15   m m , a espessura da placa

A primeira variável k , fundamental para achar Q ˙ A , já está determinada. Mas como calcular d T d x ?

Para essa tarefa, precisamos lembrar da simplificação mais comum desses exercícios:

  • A temperatura T varia linearmente com o eixo x .

Passo 3

O eixo x é a única direção, em que a temperatura T da placa varia. No caso estudado, a diferença de temperatura entre as superfícies é a mesma. Ou seja, a temperatura só muda, conforme variamos a distância do ponto em relação a uma das superfícies.