10 Um líquido, que pode ser tratado como água, é misturado em um vaso de 1 m 3 dotado de agitador. O agitador introduz 300 watts de potência no vaso. A taxa de transferência de calor do tanque para as vizinhanças é proporcional à diferença de temperatura entre o vaso e o ambiente externo (que está a 20^{\circ} \mathrm{C} ). A vazão de líquido que entra e que sai do tanque é de 1 \mathrm{~kg} / \mathrm{min}. Se a temperatura de entrada do líquido for 40^{\circ} \mathrm{C}, qual será o valor da temperatura de saída do líquido? A constante de proporcionalidade para determinar a taxa de transferência de calor do vaso vale 100 \mathrm{~W} /{ }^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura de saída de um tanque agitado em regime permanente, onde entra e sai líquido à mesma vazão e há geração de potência pelo agitador e perda de calor para o ambiente. O conteúdo é balanço de energia num CSTR (tanque agitado contínuo) em regime estacionário. Vamos usar: balanço de entalpia da vazão de entrada e saída, potência elétrica fornecida e taxa de perda de calor proporcional à diferença de temperatura.

Passo 2

Escrevemos o balanço de energia em regime permanente (acumulação zero):
a energia que entra pela vazão de alimentação mais a potência do agitador deve igualar a energia que sai pela vazão de saída mais a perda de calor para o ambiente. Assim,
\dot m c_p T_{\text{in}} + P = \dot m c_p T + Q_{\text{loss}}.

Passo 3

A perda de calor é proporcional à diferença entre a temperatura do tanque T e a do ambiente T_{\text{amb}}=20^\circ\text{C}:
Q_{\text{loss}} = k\,(T - T_{\text{amb}}),
onde k=100\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C}. Substituindo em (1):
\dot m c_p T_{\text{in}} + P = \dot m c_p T + k\,(T - T_{\text{amb}}).

Passo 4

Agrupando os termos em T:
\dot m c_p T + kT = \dot m c_p T_{\text{in}} + k\,T_{\text{amb}} + P \quad\Longrightarrow\quad T\bigl(\dot m c_p + k\bigr) = \dot m c_p T_{\text{in}} + k\,T_{\text{amb}} + P.
Logo,
T = \frac{\dot m c_p T_{\text{in}} + k\,T_{\text{amb}} + P}{\dot m c_p + k}.

Passo 5

Calculamos cada termo. A vazão mássica é \dot m =1\\ \mathrm{kg/min} = \tfrac{1}{60}\\ \mathrm{kg/s}. Para água, c_p =4184\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}. Então
\dot m\,c_p = \frac{1}{60}\cdot4184 \approx 69{,}73\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C}.
Substituindo numericamente:
\text{numerador} = 69{,}73\cdot40 + 100\cdot20 + 300 = 2789{,}2 +2000 +300 =5089{,}2\\ \mathrm{W},
\text{denominador} = 69{,}73 +100 =169{,}73\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C}.
Portanto
T = \frac{5089{,}2}{169{,}73} \approx30{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A temperatura de saída do líquido é aproximadamente 30{,}0^\circ\mathrm{C}.

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